Zadanie 6
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez $5$, które są dwucyfrowe.
1) Ustalamy dane
Dwucyfrowe liczby naturalne to liczby od $10$ do $99$. Szukamy tych, które są niepodzielne przez $5$.
Aby wygodnie obliczyć sumę, odejmiemy od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych sumę tych, które są podzielne przez $5$.
2) Obliczamy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych
To ciąg arytmetyczny od $10$ do $99$ o różnicy $r=1$.
Liczba wyrazów:
$$n=\frac{99-10}{1}+1=90$$
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{\text{all}} = \frac{(10 + 99)}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 54.5 \cdot 90 = 4905$$
3) Obliczamy sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności liczby 5
Wielokrotności $5$ w tym zakresie to:
$$10,\,15,\,20,\,\ldots,\,95$$
To ciąg arytmetyczny o $a_1=10$, $a_n=95$, $r=5$.
Liczba wyrazów:
$$n=\frac{95-10}{5}+1=\frac{85}{5}+1=17+1=18$$
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{5} = \frac{(10 + 95)}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 52.5 \cdot 18 = 945$$
4) Obliczamy sumę liczb niepodzielnych przez 5
Odejmujemy sumę wielokrotności $5$ od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych:
$$S = S_{\text{all}} – S_{5} = 4905 – 945 = 3960$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $3960$.