Zadania optymalizacyjne – zadania maturalne

Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1.

Przyjmijmy, że dobowy przychód \(P\) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(5x\) złotych, opisuje funkcja $$P(x)=(80-x)(120+5x)$$ gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\ge 0\) i \(x\le 80\).

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem $$Z(x)=(500+50x)(16-x),$$ gdzie:
\(x\) – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\ge 1\) oraz \(x\le 14\),
\(Z\) – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego:

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest 3 razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa 12. Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem $$P(x)=(70-x)(20+x),$$ gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\ge 0\) oraz \(x\le 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

1.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba $x$ jest równa
2.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł, gdy liczba $x$ jest równa

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją $P(x)=196x$
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją $K(x)=4x^2+4x+240$
Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.
Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\text{ m}\) oraz \(|CD|=100\text{ m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\text{ m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\):$$
P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD} $$Zapisz obliczenia.

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja:\[
L(n) = -n^2 + 22n + 279,
\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n \ge 1\) i \(n \le 30\).