Uczeń wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Zadanie 1.1
Wyznacz współczynnik $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 + bx + 4$, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 2$.

Odpowiedź: $b = -4$

Rozwiązanie:

Zadanie 1.2
Wyznacz współczynnik $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = -x^2 + bx-3$, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 4$

Odpowiedź: $b = 8$

Rozwiązanie:

Zadanie 1.3
Wyznacz współczynnik $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = 2x^2 + bx-1$, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = -1$

Odpowiedź: $b = 4$

Rozwiązanie:

Zadanie 1.4
Wyznacz współczynnik $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = -\dfrac12 x^2 + bx-7$, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = -6$

Odpowiedź: $b = -6$

Rozwiązanie:

Zadanie 1.5
Wyznacz współczynnik $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = 3x^2 + bx-4$, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x=1$


Odpowiedź: $b = -6$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.1
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = -3$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) = 2(x+3)^2-26$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.2
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = 3$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) = -2(x-3)^2 + 10$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.3
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = -6$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) = 5(x+6)^2-188$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.4
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = 12$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) =-\dfrac{1}{3}(x-12)^2 + 40$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.5
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = \dfrac{3}{2}$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) = 4(x-\dfrac{3}{2})^2-17$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.6
Wykresem funkcji kwadratowej $y = ax^2 + 6x-8$ jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa $x_w = -\dfrac{3}{2}$. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.


Odpowiedź:
$f(x) = -4(x + \dfrac{3}{2})^2 + 1$

Rozwiązanie:

Zadanie 3.1 1/120(77)
[latexpage]
Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 + bx + c$ wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = -6$ oraz punkt $A(-1, -11)$ należy do tej paraboli.

Odpowiedź: $0{,}$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.1
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $(3,-2)$. Punkt $P(4,1)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.


Odpowiedź:
$f(x)=3(x-3)^2-2$
$f(x)=3x^2-18x+25$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.2
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(2,2)$. Punkt $P(3,1)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.


Odpowiedź:
$f(x)=-(x-2)^2+2$
$f(x)=-x^2+4x$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.3
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(4,0)$. Punkt $P(3,-2)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.


Odpowiedź:
$f(x)=-2(x-4)^2$
$f(x)=-2x^2+16x-32$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.4
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(-1,-6)$. Punkt $P(-2,-4)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.


Odpowiedź:
$f(x)=2(x+1)^2-6$
$f(x)=2x^2+4x-4$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.5
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(2,2)$. Punkt $P(3,1)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.

Odpowiedź:
$f(x) = -(x-2)^2 + 2$
$f(x) = -x^2 + 4x$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.6
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(4,0)$. Punkt $P(3,-2)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.

Odpowiedź:
$f(x) = -2(x-4)^2$
$f(x) = -2x^2 + 16x – 32$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.7
[latexpage]
Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W(-1,-6)$. Punkt $P(-2,-4)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i ogólnej.

Odpowiedź:
$f(x) = 2(x+1)^2 – 6$
$f(x) = 2x^2 + 4x – 4$

Rozwiązanie:

Zadanie 5.1 2/120(77)
[latexpage]
Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = -\tfrac{1}{2}x^2 + bx + c$ wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $4$ oraz $-6$.

Odpowiedź: $b = -1,\quad c = 12$

Rozwiązanie:

Zadanie 5.2 3.60
[latexpage]
Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = \frac13 x^2 + bx + c$ wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $9$ oraz $-6$.


Odpowiedź: $b = -1,\; c = -18$

Rozwiązanie:

Zadanie 5.3
[latexpage]
Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y = x^2 + bx + c$, którego pierwiastkami są liczby $(3)$ i $(5)$.


Odpowiedź: $b = -8,\quad c = 15$

Zadanie 5.4
[latexpage]
Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y = x^2 + bx + c$, którego pierwiastkami są liczby $(4)$ i $(-3)$.


Odpowiedź: $b = -1,\quad c = -12$

Zadanie 5.5
[latexpage]
Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y = x^2 + bx + c$, którego pierwiastkami są liczby $(-5)$ i $(-2)$.


Odpowiedź: $b = 7,\quad c = 10$

Zadanie 5.6
[latexpage]
Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y = x^2 + bx + c$, którego pierwiastkami są liczby $(-2)$ oraz $\left(\frac12\right)$.


Odpowiedź: $b = \frac{3}{2},\quad c = -1$

Zadanie 5.7
[latexpage]
Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y = x^2 + bx + c$, którego pierwiastkami są liczby $(\sqrt{3})$ i $(-\sqrt{3})$.


Odpowiedź: $b = 0,\quad c = -3$

Zadanie 6.1
[latexpage]
Wyznacz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby $(-1)$ i $(3)$, a zbiorem wartości jest przedział $[-4;\,\infty)$.

Odpowiedź: $y = \frac14(x + 1)(x – 3)$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.2
[latexpage]
Wyznacz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby $(-4)$ i $(0)$, a zbiorem wartości jest przedział $(-\infty;\,2]$.

Odpowiedź: $y = -\frac12\,x(x+4)$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.3
[latexpage]
Wyznacz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby $(-8)$ i $(2)$, a zbiorem wartości jest przedział $(-\infty;\,10]$.

Odpowiedź: $y = -\frac{5}{4}(x+8)(x-2)$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.4
[latexpage]
Wyznacz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby $(0)$ i $(6)$, a zbiorem wartości jest przedział $[-6;\,\infty)$.

Odpowiedź: $y = \frac16\,x(x-6)$

Rozwiązanie:

Zadanie 7.1 3/120(77)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że dla argumentu $8$ przyjmuje ona największą wartość równą $1$, a do wykresu tej funkcji należy punkt $A(4, -7)$.

Odpowiedź: $f(x) = -0{,}5x^2 + 8x – 31$

Rozwiązanie:

Zadanie 8.1 4/120(77)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $10$ i $-2$, a jej wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -5)$.

Odpowiedź: $f(x) = \tfrac{1}{4}(x – 4)^2 – 9$

Rozwiązanie:

Zadanie 8.2
[latexpage]
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-1$ oraz $3$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P(1,-2)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Odpowiedź:
$f(x) = -\tfrac12(x+1)(x-3)$

Rozwiązanie:

Zadanie 8.3
[latexpage]
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-1$ oraz $3$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P(2,3)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Odpowiedź:
$f(x) = (x+1)(x-3)$

Rozwiązanie:

Zadanie 8.4
[latexpage]
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-1$ oraz $3$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P(-3,-2)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Odpowiedź:
$f(x) = \tfrac14(x+1)(x-3)$

Rozwiązanie:

Zadanie 9.1 5/120(77)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że ma ona tylko jedno miejsce zerowe oraz $f(-6) = f(4) = 15$

Odpowiedź: $f(x) = 0{,}6x^2 + 1{,}2x + 0{,}6$

Rozwiązanie:

Zadanie 9.2 3.59
[latexpage]
Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = -\frac14 x^2 + bx + c$ wiedząc, że funkcja $f$ ma tylko jedno miejsce zerowe oraz $f(-4) = f(8)$.

Odpowiedź: $b = 1,\; c = -1$

Rozwiązanie:

Zadanie 9.3 12/121(78)
[latexpage]
Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2 + bx + c,$ wiedząc, że funkcja $f$ ma tylko jedno miejsce zerowe oraz $f(-2) = f(6)$.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 10.1 6/121(78)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że jej zbiorem wartości jest przedział $(-\infty, 6\rangle$, do jej wykresu należy punkt $B(-1, 3)$, a średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa $2$.

Odpowiedź: $f(x) = -\tfrac{1}{3}x^2 + \tfrac{1}{3}x + 4\tfrac{2}{3}$

Rozwiązanie:

Zadanie 11.1 7/121(78)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, wiedząc, że do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A(-1, 14)$ oraz $f(x) \le 0 \iff x \in \langle -2, 6\rangle$.

Odpowiedź: $f(x) = -2(x – 2)^2 + 32$

Rozwiązanie:

Zadanie 12.1 8/121(78)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą $-32$ oraz $f(x) > 0 \iff x \in (-\infty, 4) \cup (12, +\infty)$.

Odpowiedź: $f(x) = 2x^2 – 32x + 96$

Rozwiązanie:

Zadanie 13.1 9/121(78)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że $f(x) < 0 \iff x \in \mathbb{R} - \{4\},$ a wykres funkcji $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $K(0, -32)$.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 14.1 10/121(78)
[latexpage]
Napisz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, jeśli wiadomo, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (-6, 4)$, a do jej wykresu należy punkt $A(-5, 18)$.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 15.1 11/121(78)
[latexpage]
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$, wiedząc, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -2\rangle$, malejąca w przedziale $\langle -2, +\infty)$, jednym z jej miejsc zerowych jest liczba $-5$, a największa wartość tej funkcji jest równa $10$.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.1
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.2
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.3
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.4
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.5
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.6
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie:

Zadanie 16.7
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaciach iloczynowej i ogólnej.

Odpowiedź: $f(x) = $

Rozwiązanie: