Zadanie 1.1
[latexpage]
Lewa strona równania jest sumą kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$.
$$3 + 5 + 7 + \ldots + x = 48$$
1) Ustalamy dane
Ciąg ma pierwszy wyraz $a_1 = 3$ i różnicę $r = 2$. Ostatnim wyrazem ciągu jest $a_n = x$, a suma wszystkich wyrazów wynosi $S_n = 48$.
2) Zapisujemy wzór na sumę ciągu arytmetycznego
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
Podstawiamy dane:
$$48 = \frac{(3 + x)}{2} \cdot n$$
3) Wyrażamy n-ty wyraz ze wzoru na ciąg arytmetyczny
$$a_n = a_1 + (n – 1)r$$
czyli
$$x = 3 + (n – 1)\cdot 2 = 2n + 1$$
4) Podstawiamy do równania sumy
$$48 = \frac{(3 + (2n + 1))}{2} \cdot n$$
$$48 = \frac{(2n + 4)}{2} \cdot n$$
$$48 = (n + 2)\cdot n$$
$$n^2 + 2n – 48 = 0$$
5) Rozwiązujemy równanie kwadratowe
$$\Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4\cdot1\cdot(-48) = 4 + 192 = 196$$
$$\sqrt{\Delta} = 14$$
Obliczamy dwa rozwiązania:
$$n_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
$$n_2 = \frac{-2 – 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$
Liczba wyrazów nie może być ujemna, więc odrzucamy $n_2 = -8$.
Zatem:
$$n = 6$$
6) Obliczamy wartość x
$$x = 2n + 1 = 2\cdot 6 + 1 = 13$$
Odpowiedź: $x = 13$
Zadanie 1.2
[latexpage]
Lewa strona równania jest sumą kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$.
$$-7 – 3 + 1 + \ldots + x = 110$$
1) Ustalamy dane
Ciąg ma pierwszy wyraz $a_1 = -7$ i różnicę $r = 4$. Ostatnim wyrazem ciągu jest $a_n = x$, a suma wszystkich wyrazów wynosi $S_n = 110$.
2) Zapisujemy wzór na sumę ciągu arytmetycznego
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
Podstawiamy dane:
$$110 = \frac{(-7 + x)}{2} \cdot n$$
3) Wyrażamy n-ty wyraz ze wzoru na ciąg arytmetyczny
$$a_n = a_1 + (n – 1)r$$
czyli
$$x = -7 + (n – 1)\cdot 4 = 4n – 11$$
4) Podstawiamy do równania sumy
$$110 = \frac{(-7 + (4n – 11))}{2} \cdot n$$
$$110 = \frac{(4n – 18)}{2} \cdot n$$
$$110 = (2n – 9)\cdot n$$
$$2n^2 – 9n – 110 = 0$$
5) Rozwiązujemy równanie kwadratowe
$$\Delta = b^2 – 4ac = (-9)^2 – 4\cdot2\cdot(-110) = 81 + 880 = 961$$
$$\sqrt{\Delta} = 31$$
Obliczamy dwa rozwiązania:
$$n_1 = \frac{9 + 31}{4} = \frac{40}{4} = 10$$
$$n_2 = \frac{9 – 31}{4} = \frac{-22}{4} = -\tfrac{11}{2}$$
Liczba wyrazów nie może być ujemna ani ułamkowa, więc odrzucamy $n_2 = -\tfrac{11}{2}$.
Zatem:
$$n = 10$$
6) Obliczamy wartość x
$$x = 4n – 11 = 4\cdot 10 – 11 = 29$$
Odpowiedź: $x = 29$