15.8. Uczeń wykorzystuje wariacje z powtórzeniami do rozwiązywania zadań

Zadanie 15-8.1 NE 1/22

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie ma:
a) cyfry 0,
b) cyfr 0 i 4,
c) cyfr 0, 4 i 5,
d) cyfr 4 i 5?

Odpowiedź:
a) $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$
b) $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
c) $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
d) $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.2 NE 2/22

Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych:
a) zaczynających się od 12,
b) których ostatnią cyfrą jest 7?

Odpowiedź:
a) $1 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
b) $10^4 = 10000$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.3 NE 3/22

Która z liczb jest większa:
a) liczba dwuelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru trzy­elementowego czy liczba trzy­elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwu­elementowego,
b) liczba trzy­elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru cztero­elementowego czy liczba cztero­elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru trzy­elementowego?

Odpowiedź:
a) $3^2 = 9$ i $2^3 = 8$ → większa: 9
b) $4^3 = 64$ i $3^4 = 81$ → większa: 81

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.4 NE 5/22

a) Do 3 szuflad wrzucamy 9 kul (kule i szuflady rozróżniamy). Na ile sposobów możemy rozmieścić te kule?
b) Do 9 szuflad wrzucamy 3 kule (kule i szuflady rozróżniamy). Na ile sposobów możemy rozmieścić te kule?

Odpowiedź:
a) $3^9$
b) $9^3$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.5 NE 6/23

a) Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na dziesięciu piętrach?
b) Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na sześciu piętrach?

Odpowiedź:
a) $10^6$
b) $6^{10}$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.6 NE 8/23

Ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują tylko cyfry 0 i 1 i które mają co najwyżej:
a) 5 cyfr,
b) 11 cyfr,
c) n cyfr?

Odpowiedź:
a) $2^5 = 32$
b) $2^{11} = 2048$
c) $2^n$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.7 NE 9/23

Ile jest wszystkich liczb, które są zapisane tylko za pomocą cyfr 0, 1, 2 oraz mają:
a) 5 cyfr,
b) 11 cyfr,
c) n cyfr?

Odpowiedź:
a) $3^5 = 243$
b) $3^{11}$
c) $3^n$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.8 NE 10/23

Rzucamy czterokrotnie kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest:
a) większych od 6000,
b) większych od 3500,
c) podzielnych przez 25,
d) podzielnych przez 4?

Odpowiedź:
a) $1 \cdot 6^3$
b) $3 \cdot 6^3$
c) $?$(ostatnie dwie cyfry 00,25,50,75 — ale 0 i 7 nie istnieją w kostce) → $0$
d) liczba podzielna przez 4 → ostatnie dwie cyfry ∈ {12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56}? (filtr z cyfr 1–6)

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.9 NE 11/23

Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych:
a) mniejszych od 48 000,
b) większych od 56 700,
c) o nieparzystym iloczynie cyfr,
d) o parzystym iloczynie cyfr.

Odpowiedź:
a) …
b) …
c) …
d) …

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.10 NE 12/23

Których liczb jest więcej:
a) dwucyfrowych, w których zapisie występują cyfry 3, 5, 7 czy trzycyfrowych, w których zapisie występują cyfry 3, 5,
b) trzycyfrowych, w których zapisie występują cyfry 2, 4, 6, 8 czy czterocyfrowych, w których zapisie występują cyfry 1, 2, 3?

Odpowiedź:
a) $3^2 = 9$ i $2^3 = 8$ → więcej: 9
b) $4^3 = 64$ i $3^4 = 81$ → więcej: 81

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.11 NE 13/23

Karolina zapomniała dwie ostatnie cyfry z dziewięciu cyfr numeru telefonu kolegi. Pamięta tylko, że były to cyfry nieparzyste. Ile maksymalnie prób musi wykonać?

Odpowiedź:
$5 \cdot 5 = 25$

Rozwiązanie:

Zadanie 15-8.12 NE 14/22

Do 4 szuflad wrzucamy 6 kul (kule i szuflady rozróżniamy). Na ile sposobów można rozmieścić te kule?

Odpowiedź:
$4^6$

Rozwiązanie: