Uczeń sprawdza ile wyrazów ciągu arytmetycznego musi dodać aby otrzymać daną sumę

1) Ustalamy dane
W danym ciągu mamy:
$$a_1 = 5, \quad r = 3, \quad S_n = 185$$

2) Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

$$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)r)}{2} \cdot n$$

Podstawiamy dane:
$$\frac{2\cdot5 + (n-1)\cdot3}{2} \cdot n = 185$$

Mnożymy obustronnie przez 2:
$$(10 + 3(n-1))n = 370$$

$$ (10 + 3n – 3)n = 370$$

$$ 3n^2 + 7n – 370 = 0$$

3) Rozwiązujemy równanie kwadratowe
$$\Delta = 7^2 – 4\cdot3\cdot(-370) = 49 + 4440 = 4489$$

$$\sqrt{\Delta} = 67$$

$$n_1 = \frac{-7 – 67}{6} = -12{,}33 \notin \mathbb{N}_+$$

$$n_2 = \frac{-7 + 67}{6} = 10$$

4) Wniosek
Należy dodać 10 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Odpowiedź: $n = 10$

1) Ustalamy dane
W danym ciągu mamy:
$$a_1 = -24, \quad r = 2, \quad S_n = 546$$

2) Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

$$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)r)}{2} \cdot n$$

Podstawiamy dane:
$$\frac{2\cdot(-24) + (n-1)\cdot2}{2} \cdot n = 546$$

Mnożymy obustronnie przez 2:
$$(-48 + 2n – 2)n = 1092$$

$$(2n – 50)n = 1092$$

$$2n^2 – 50n – 1092 = 0$$

3) Rozwiązujemy równanie kwadratowe
$$\Delta = (-50)^2 – 4\cdot2\cdot(-1092) = 2500 + 8736 = 11236$$

$$\sqrt{\Delta} = 106$$

$$n_1 = \frac{50 – 106}{4} = -14 \notin \mathbb{N}_+$$

$$n_2 = \frac{50 + 106}{4} = \frac{156}{4} = 39$$

4) Wniosek
Należy dodać 39 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Odpowiedź: $n = 39$