Uczeń przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej na postać iloczynową

Zadanie 1NE P2/34a
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 2x^2 + 5x-3$$

Odpowiedź:
\( y = 2(x + 3)\left(x – \tfrac12\right) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 2NE P2/34b
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = x^2-2x-1$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(1 \pm \sqrt2\)
Postać iloczynowa: \( y = (x – (1 + \sqrt2))(x – (1 – \sqrt2)) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 3NE P2/34c
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y =-2x^2 + x-4$$

Odpowiedź:
\(\Delta = 1 – 4\cdot (-2)\cdot (-4) = 1 – 32 = -31 < 0\)
Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych – nie można go rozłożyć na czynniki liniowe.

Rozwiązanie:

Zadanie 4NE2 Ć5/34a
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = x^2-8x + 15$$

Odpowiedź:
\( y = (x – 3)(x – 5) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 5NE2 Ć5/34b
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = x^2 + 3x-28$$

Odpowiedź:
\( y = (x + 7)(x – 4) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 6NE2 Ć5/34c
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 3x^2-7x + 2$$

Odpowiedź:
\( y = (3x – 1)(x – 2) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 7NE2 Ć5/34d
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 12x^2 + 11x + 2$$

Odpowiedź:
\( y = (3x + 2)(4x + 1) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 8NE2 Ć5/34e
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y =-2x^2-2x + 24$$

Odpowiedź:
\( y = -2(x – 3)(x + 4) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 9NE2 Ć5/34f
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 4x^2 + 3x + 1$$

Odpowiedź:
\(\Delta = 3^2 – 4\cdot 4 \cdot 1 = -7 < 0\),
trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych – nie można rozłożyć na czynniki liniowe z liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie:

Zadanie 10NE2 Ć5/34g
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 2x^2-3x + 4$$

Odpowiedź:
\(\Delta = (-3)^2 – 4\cdot 2 \cdot 4 = -23 < 0\),
trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych – nie można rozłożyć na czynniki liniowe z liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie:

Zadanie 11NE2 Ć5/34h
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = x^2-2x-2$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}\)
Postać iloczynowa: \( y = (x – (1 + \sqrt3))(x – (1 – \sqrt3)) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 12NE2 Ć5/34i
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.$$y = 2x^2-2x-1$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt3}{2}\)
Postać iloczynowa:
\( y = 2\left(x – \dfrac{1 + \sqrt3}{2}\right)\left(x – \dfrac{1 – \sqrt3}{2}\right) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 13NE2 2/35a
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y = x^2-x-6$$

Odpowiedź:
\( y = (x – 3)(x + 2) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 14NE2 2/35b
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y =-x^2 + x + 6$$

Odpowiedź:
\( y = -(x – 3)(x + 2) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 15NE2 2/35c
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y = 2x^2-3x-2$$

Odpowiedź:
\( y = (2x + 1)(x – 2) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 16NE2 2/35d
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y =-2x^2 + 4x-1$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(x = 1 \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(y = -2\big(x – (1 + \tfrac1{\sqrt2})\big)\big(x – (1 – \tfrac1{\sqrt2})\big)\)

Rozwiązanie:

Zadanie 17NE2 2/35e
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y = 3x^2-7x + 4$$

Odpowiedź:
\( y = (3x – 4)(x – 1) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 18NE2 2/35f
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y =-4x^2 + 2x + 1$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{5}}{2}\)
\( y = -4\left(x – \tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x – \tfrac{1-\sqrt5}{2}\right) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 19NE2 2/35g
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y = 3x^2-10x-8$$

Odpowiedź:
\( y = (3x + 2)(x – 4) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 20NE2 2/35h
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y = x^2-2x + \dfrac12$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \(1 \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\( y = \left(x – (1 + \tfrac{1}{\sqrt2})\right)\left(x – (1 – \tfrac{1}{\sqrt2})\right) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 21NE2 2/35i
Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.$$y =-\dfrac14 x^2 + 3x + 7$$

Odpowiedź:
Pierwiastki: \( -1 \pm \sqrt{29} \)
\( y = -\tfrac14\left(x – (-1+\sqrt{29})\right)\left(x – (-1-\sqrt{29})\right) \)

Rozwiązanie:

Zadanie 22NE2 3/35a
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = 4x^2-1$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = (2x – 1)(2x + 1) \)
Miejsca zerowe: \( x = \tfrac12,\; x = -\tfrac12 \)

Rozwiązanie:

Zadanie 23NE2 3/35b
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = 9x^2-16$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = (3x – 4)(3x + 4) \)
Miejsca zerowe: \( x = \tfrac43,\; x = -\tfrac43 \)

Rozwiązanie:

Zadanie 24NE2 3/35c
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = \dfrac13 x^2 + \dfrac16 x$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = \tfrac13 x\left(x + \tfrac12\right) \)
Miejsca zerowe: \( x = 0,\; x = -\tfrac12 \)

Rozwiązanie:

Zadanie 25NE2 3/35d
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = 6x-9x^2$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = -3x(3x – 2) \)
Miejsca zerowe: \( x = 0,\; x = \tfrac23 \)

Rozwiązanie:

Zadanie 26NE2 3/35e
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = 9x^2 + 6x + 1$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = (3x + 1)^2 \)
Miejsce zerowe (podwójne): \( x = -\tfrac13 \)

Rozwiązanie:

Zadanie 27NE2 3/35f
Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej i podaj jej miejsca zerowe.$$f(x) = 4x^2-12x + 9$$

Odpowiedź:
Postać iloczynowa: \( f(x) = (2x – 3)^2 \)
Miejsce zerowe (podwójne): \( x = \tfrac32 \)

Rozwiązanie: