Zadanie 1.1
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb parzystych zawartych między $13$ a $2021$.
Odpowiedź: 1 018 508
1) Ustalamy dane
Szukamy wszystkich liczb parzystych większych od $13$ i mniejszych od $2021$.
Zatem liczby mają postać:
$$a_n = 2n$$
2) Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu
Pierwszy wyraz większy od $13$:
$$2n > 13 \;\Rightarrow\; n > 6,5 \;\Rightarrow\; n = 7$$
$$a_1 = 2 \cdot 7 = 14$$
Ostatni wyraz mniejszy od $2021$:
$$2n < 2021 \;\Rightarrow\; n < 1010,5 \;\Rightarrow\; n = 1010$$
$$a_n = 2 \cdot 1010 = 2020$$
Zatem mamy ciąg arytmetyczny: $14,\,16,\,18,\,\ldots,\,2020,$ o różnicy $r = 2$, pierwszym wyrazie $a_1 = 14$ i ostatnim $a_n = 2020$.
3) Ustalamy liczbę wyrazów ciągu
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
Podstawiamy:
$$2020 = 14 + (n-1)\cdot 2$$
$$2020 – 14 = 2(n-1)$$
$$2006 = 2(n-1) \;\Rightarrow\; n-1 = 1003 \;\Rightarrow\; n = 1004$$
4) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{1004} = \frac{(14 + 2020)}{2} \cdot 1004 = \frac{2034}{2} \cdot 1004 = 1017 \cdot 1004 = 1\,018\,508$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $1\,018\,508$
Zadanie 1.2
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych dodatnich podzielnych przez $3$.
Odpowiedź: 1665
1) Ustalamy dane
Szukamy wszystkich liczb dwucyfrowych dodatnich, które są podzielne przez 3.
Liczby dwucyfrowe to liczby od $10$ do $99$.
Zatem liczby mają postać:
$$a_n = 3n$$
2) Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu
Pierwszy wyraz większy lub równy $10$:
$$3n \ge 10 \;\Rightarrow\; n \ge 3,33 \;\Rightarrow\; n = 4$$
$$a_1 = 3 \cdot 4 = 12$$
Ostatni wyraz mniejszy lub równy $99$:
$$3n \le 99 \;\Rightarrow\; n \le 33 \;\Rightarrow\; n = 33$$
$$a_n = 3 \cdot 33 = 99$$
Zatem mamy ciąg arytmetyczny: $12,\,15,\,18,\,\ldots,\,99,$ o różnicy $r = 3$, pierwszym wyrazie $a_1 = 12$ i ostatnim $a_n = 99$.
3) Ustalamy liczbę wyrazów ciągu
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
Podstawiamy:
$$99 = 12 + (n-1)\cdot 3$$
$$99 – 12 = 3(n-1)$$
$$87 = 3(n-1) \;\Rightarrow\; n-1 = 29 \;\Rightarrow\; n = 30$$
4) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{30} = \frac{(12 + 99)}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 55{,}5 \cdot 30 = 1665$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $1665$
Zadanie 1.3
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $100$, których reszta z dzielenia przez $6$ jest równa $1$.
Odpowiedź: 833
1) Ustalamy dane
Szukamy wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których reszta z dzielenia przez 6 jest równa 1.
Zatem liczby mają postać:
$$a_n = 6n + 1$$
2) Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu
Pierwszy wyraz:
$$n = 0 \;\Rightarrow\; a_1 = 6\cdot0 + 1 = 1$$
Ostatni wyraz mniejszy od $100$:
$$6n + 1 < 100 \;\Rightarrow\; 6n < 99 \;\Rightarrow\; n < 16,5 \;\Rightarrow\; n = 16$$
$$a_n = 6 \cdot 16 + 1 = 97$$
Zatem mamy ciąg arytmetyczny: $1,\,7,\,13,\,\ldots,\,97,$ o różnicy $r = 6$, pierwszym wyrazie $a_1 = 1$ i ostatnim $a_n = 97$.
3) Ustalamy liczbę wyrazów ciągu
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
Podstawiamy:
$$97 = 1 + (n-1)\cdot 6$$
$$97 – 1 = 6(n-1)$$
$$96 = 6(n-1) \;\Rightarrow\; n-1 = 16 \;\Rightarrow\; n = 17$$
4) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{17} = \frac{(1 + 97)}{2} \cdot 17 = \frac{98}{2} \cdot 17 = 49 \cdot 17 = 833$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $833$
Zadanie 1.4
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych, których reszta z dzielenia przez $4$ jest równa $3$ i które są większe od $10$ oraz mniejsze od $80$.
1) Ustalamy dane
Szukamy liczb naturalnych większych od 10 i mniejszych od 80, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 3.
Zatem liczby mają postać:
$$a_n = 4n + 3$$
2) Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu
Pierwszy wyraz:
$$4n + 3 > 10 \;\Rightarrow\; 4n > 7 \;\Rightarrow\; n = 2$$
$$a_1 = 4\cdot 2 + 3 = 11$$
Ostatni wyraz:
$$4n + 3 < 80 \;\Rightarrow\; 4n < 77 \;\Rightarrow\; n = 19,$$
$$a_n = 4\cdot 19 + 3 = 79$$
Zatem mamy ciąg arytmetyczny: $11,\,15,\,19,\,\ldots,\,79,$ o różnicy $r=4,$ pierwszym wyrazie $a_1=11$ i ostatnim $a_n=79$
3) Ustalamy liczbę wyrazów tego ciągu (ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego)
Korzystamy ze wzoru na ciąg arytmetyczny $$a_n=a_1+(n-1)r$$ i podstawiamy:
$$79 = 11 + (n-1)\cdot 4$$
$$79 – 11 = 4(n-1)$$
$$68 = 4(n-1) \;\Rightarrow\; n-1=17 \;\Rightarrow\; n=18$$
4) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego.
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{18} = \frac{(11 + 79)}{2} \cdot 18 = \frac{90}{2} \cdot 18 = 45 \cdot 18 = 810$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $810$
Zadanie 1.5
[latexpage]
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez $5$, które są dwucyfrowe.
1) Ustalamy dane
Dwucyfrowe liczby naturalne to liczby od $10$ do $99$. Szukamy tych, które są niepodzielne przez $5$.
Aby wygodnie obliczyć sumę, odejmiemy od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych sumę tych, które są podzielne przez $5$.
2) Obliczamy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych
To ciąg arytmetyczny od $10$ do $99$ o różnicy $r=1$.
Liczba wyrazów:
$$n=\frac{99-10}{1}+1=90$$
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{\text{all}} = \frac{(10 + 99)}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 54.5 \cdot 90 = 4905$$
3) Obliczamy sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności liczby 5
Wielokrotności $5$ w tym zakresie to:
$$10,\,15,\,20,\,\ldots,\,95$$
To ciąg arytmetyczny o $a_1=10$, $a_n=95$, $r=5$.
Liczba wyrazów:
$$n=\frac{95-10}{5}+1=\frac{85}{5}+1=17+1=18$$
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$
$$S_{5} = \frac{(10 + 95)}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 52.5 \cdot 18 = 945$$
4) Obliczamy sumę liczb niepodzielnych przez 5
Odejmujemy sumę wielokrotności $5$ od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych:
$$S = S_{\text{all}} – S_{5} = 4905 – 945 = 3960$$
Odpowiedź: Suma liczb wynosi $3960$