Uczeń oblicza sumę skończonego ciągu arytmetycznego

Zadanie 1.1
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $4, 7, 10, \ldots, 34$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.2
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $\frac{1}{3}, 1, 1\frac{2}{3}, \ldots, 9\frac{2}{3}$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.3
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $-3, -5, -7, \ldots, -41$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.4
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $2, 4, 6, \ldots, 100$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.5
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $1, 4, 7, \ldots, 34$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.6
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $5, 9, 13, \ldots, 77$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 1.7
[latexpage]
Dany jest skończony ciąg arytmetyczny $2, 6, 10, \ldots, 98$. Oblicz jego sumę.

Zadanie 2.1
[latexpage]
Oblicz sumę, której składnikami są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

$$7 + 11 + 15 + \ldots + 47 + 51$$

Odpowiedź: 348

1) Ustalamy dane
Pierwszy wyraz ciągu to $a_1 = 7$, a różnica między kolejnymi wyrazami wynosi $r = 4$. Ostatni wyraz to $a_n = 51$.

2) Obliczamy liczbę wyrazów ciągu
Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n – 1)r$$

Podstawiamy dane:
$$51 = 7 + (n – 1)\cdot 4$$

$$51 – 7 = 4(n – 1)$$

$$44 = 4(n – 1)$$

$$n – 1 = 11$$

$$n = 12$$

3) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$

Podstawiamy dane:
$$S_{12} = \frac{(7 + 51)}{2} \cdot 12 = \frac{58}{2} \cdot 12 = 29 \cdot 12 = 348$$

Odpowiedź: Suma liczb wynosi $348$.

Zadanie 2.2
[latexpage]
Oblicz sumę, której składnikami są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

$$-18 – 15 – 12 – \ldots + 15 + 18$$

Odpowiedź: 0

1) Ustalamy dane
Pierwszy wyraz ciągu to $a_1 = -18$, a różnica między kolejnymi wyrazami wynosi $r = 3$. Ostatni wyraz to $a_n = 18$.

Zauważmy, że zapis $-18 – 15 – 12 – \ldots$ można rozumieć jako $-18 + (-15) + (-12) + \ldots$ czyli dodajemy liczby ujemne. Dzięki temu ciąg pozostaje ciągiem arytmetycznym o różnicy $r=3$.

2) Obliczamy liczbę wyrazów ciągu
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n – 1)r$$

Podstawiamy dane:
$$18 = -18 + (n – 1)\cdot 3$$

$$18 + 18 = 3(n – 1)$$

$$36 = 3(n – 1)$$

$$n – 1 = 12$$

$$n = 13$$

3) Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego
Używamy wzoru:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$

Podstawiamy dane:
$$S_{13} = \frac{(-18 + 18)}{2} \cdot 13 = \frac{0}{2} \cdot 13 = 0$$

Odpowiedź: Suma liczb wynosi $0$.