10.7R Uczeń oblicza granice ciągów (6)

Zadanie 6.1
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\sqrt[n]{10^n+7^n}$$

Odpowiedź: $10$

Rozwiązanie:

Dominują wyrazy największej potęgi:
$$a_n=(10^n(1+(\tfrac{7}{10})^n))^{1/n}=10\,(1+(\tfrac{7}{10})^n)^{1/n}\to 10.$$

Zadanie 6.2
[latexpage]

Oblicz granicę: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+8^n}$$

Odpowiedź: $8$

Rozwiązanie:

$$\sqrt[n]{6^n+8^n}=8\sqrt[n]{(\tfrac{6}{8})^n+1}\to 8.$$

Zadanie 6.3
[latexpage]

Oblicz granicę: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{4^n-2^n}$$

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie:

$$\sqrt[n]{4^n-2^n}=4\sqrt[n]{1-(\tfrac{1}{2})^n}\to 4.$$

Zadanie 6.4
[latexpage]

Oblicz granicę: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3\cdot2^n+4\cdot7^n}$$

Odpowiedź: $7$

Rozwiązanie:

Dominuje $7^n$:
$$\sqrt[n]{3\cdot2^n+4\cdot7^n}=7\sqrt[n]{3(\tfrac{2}{7})^n+4}\to 7.$$

Zadanie 6.5
[latexpage]

Oblicz granicę: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}$$

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie:

Dominuje $4^n$:
$$\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}=4\sqrt[n]{(\tfrac{1}{2})^n+(\tfrac{3}{4})^n+1}\to 4.$$

Zadanie 6.6
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\sqrt[n]{6\cdot5^n+7\cdot3^n}$$

Odpowiedź: $5$

Rozwiązanie:

Dominuje $5^n$:
$$a_n=5\sqrt[n]{6+7(\tfrac{3}{5})^n}\to 5.$$

Zadanie 6.7
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\sqrt[n]{9^n-3^n}$$

Odpowiedź: $9$

Rozwiązanie:

$$a_n=9\sqrt[n]{1-(\tfrac{1}{3})^n}\to 9.$$