10.6R Uczeń oblicza granice ciągów (5)

Zadanie 5.1
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{4^n-2}{3\cdot4^n}$$

Odpowiedź: $\dfrac{1}{3}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $4^n$:
$$a_n=\frac{1-\frac{2}{4^n}}{3}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{3}$$

Zadanie 5.2
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2^n+1}{2^n}$$

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $2^n$:
$$a_n=1+\frac{1}{2^n}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$

Zadanie 5.3
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2^n}{2+3\cdot2^n}$$

Odpowiedź: $\dfrac{1}{3}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $2^n$:
$$a_n=\frac{1}{\frac{2}{2^n}+3}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{3}$$

Zadanie 5.4
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3^n+6}{3^n+1}$$

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $3^n$:
$$a_n=\frac{1+\frac{6}{3^n}}{1+\frac{1}{3^n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$

Zadanie 5.5
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2^n+3^n}{2^n-3^n}$$

Odpowiedź: $-1$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $3^n$:
$$a_n=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n-1}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{0+1}{0-1}=-1$$

Zadanie 5.6
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot7^n}$$

Odpowiedź: $-\dfrac{1}{3}$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $7^n$:
$$a_n=\frac{\left(\frac{2}{7}\right)^n+1}{\left(\frac{4}{7}\right)^n-3}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

Zadanie 5.7
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3^n-8^n}{4^n+5\cdot8^n}$$

Odpowiedź: $-\dfrac{1}{5}$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $8^n$:
$$a_n=\frac{\left(\frac{3}{8}\right)^n-1}{\left(\frac{4}{8}\right)^n+5}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}$$

Zadanie 5.8
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2^n+5^n}{5^n-2^n}$$

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $5^n$:
$$a_n=\frac{\left(\frac{2}{5}\right)^n+1}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$

Zadanie 5.9
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{4^n+6\cdot9^n}{4^n-9^n}$$

Odpowiedź: $-6$

Rozwiązanie:

Dzielimy przez $9^n$:
$$a_n=\frac{\left(\frac{4}{9}\right)^n+6}{\left(\frac{4}{9}\right)^n-1}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{6}{-1}=-6$$

Zadanie 5.10
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3\cdot6^n+4^{\,n+1}}{6^{\,n+2}-2\cdot4^n}$$

Odpowiedź: $\dfrac{1}{12}$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $6^{n+2}=36\cdot6^n$ oraz $4^{\,n+1}=4\cdot4^n$.
Dzielimy licznik i mianownik przez $6^n$:
$$a_n=\frac{3+4\left(\frac{4}{6}\right)^n}{36-2\left(\frac{4}{6}\right)^n}
=\frac{3+4\left(\frac{2}{3}\right)^n}{36-2\left(\frac{2}{3}\right)^n}$$

Ponieważ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\to 0$, mamy
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$