10.4R Uczeń oblicza granice ciągów (3)

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik i mianownik:
$$a_n=\frac{n^2+5n+6}{6n^2+n-1}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}{6+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{6}$$

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik i mianownik:
$$a_n=\frac{12n^2+4n-1}{4n^2+7n-2}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{12+\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{4+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{12}{4}=3$$

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik i mianownik:
$$a_n=\frac{10n^2+43n+28}{-9n^2+3n+20}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{10+\frac{43}{n}+\frac{28}{n^2}}{-9+\frac{3}{n}+\frac{20}{n^2}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{10}{-9}=-\frac{10}{9}$$

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik i mianownik:
$$a_n=\frac{2n^3+n^2-4n-2}{6n^3-4n^2+6n-4}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:
$$a_n=\frac{2+\frac{1}{n}-\frac{4}{n^2}-\frac{2}{n^3}}{6-\frac{4}{n}+\frac{6}{n^2}-\frac{4}{n^3}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Rozwiązanie:

Rozwijamy mianownik:
$$(n+1)(n^2-n+1)=n^3+1$$

Zatem:
$$a_n=\frac{2n^3-n^2+2n+1}{n^3+1}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:
$$a_n=\frac{2-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=2$$