Zadanie 1. (0-3)
Oblicz wartość wyrażenia \(a^b\), jeżeli \[
a=\log_8 5\cdot \log_{25} 2,
\qquad
b=(\log_6 3)^2+\log_6 2\cdot \log_6 \frac{1}{2}.
\]
a=\log_8 5\cdot \log_{25} 2,
\qquad
b=(\log_6 3)^2+\log_6 2\cdot \log_6 \frac{1}{2}.
\]
Zadanie 2. (0-2)
Temperaturę \(F\) w stopniach Celsjusza (\(^\circ\)C) bochenka chleba można opisać wzorem\[
F(t)=a(1{,}76)^{-t}+18,
\]gdzie \(a\) jest stałą, a \(t\) jest czasem, który upłynął od momentu wyjęcia chleba z pieca.
a) Wiedząc, że w momencie wyjmowania chleba z pieca ma on temperaturę \(220^\circ\)C, oblicz wartość współczynnika \(a\).
F(t)=a(1{,}76)^{-t}+18,
\]gdzie \(a\) jest stałą, a \(t\) jest czasem, który upłynął od momentu wyjęcia chleba z pieca.
a) Wiedząc, że w momencie wyjmowania chleba z pieca ma on temperaturę \(220^\circ\)C, oblicz wartość współczynnika \(a\).
b) Po ilu minutach temperatura chleba spadnie poniżej \(30^\circ\)C?
Zadanie 3. (0-3)
W trójkącie \(ABC\) odpowiednio na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano punkty \(M\) i \(N\) w taki sposób, że\[
|AM|=\frac{1}{3}|AC| \quad \text{oraz} \quad |BN|=\frac{1}{3}|BC|.
\]Przez wierzchołek \(C\) poprowadzono prostą \(k\) równoległą do boku \(AB\). Prosta \(AN\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(P\), a prosta \(BM\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(Q\).
Bok \(AB\) ma długość \(a\). Oblicz długość odcinka \(PQ\).
|AM|=\frac{1}{3}|AC| \quad \text{oraz} \quad |BN|=\frac{1}{3}|BC|.
\]Przez wierzchołek \(C\) poprowadzono prostą \(k\) równoległą do boku \(AB\). Prosta \(AN\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(P\), a prosta \(BM\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(Q\).
Bok \(AB\) ma długość \(a\). Oblicz długość odcinka \(PQ\).
Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność\[
x^3+5x^2-6|x|\ge 0
\]
x^3+5x^2-6|x|\ge 0
\]
Zadanie 5. (0-4)
Trzeci wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy \(1\). Suma kwadratów wyrazów tego ciągu jest \(8\) razy większa od sumy jego wyrazów o numerach parzystych. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
Zadanie 6. (0-4)
Podaj wszystkie rozwiązania równania:\[
\sin 2x+1=3\sin x+3\cos x
\]należące do przedziału \([ -2\pi,2\pi ]\).
\sin 2x+1=3\sin x+3\cos x
\]należące do przedziału \([ -2\pi,2\pi ]\).
Zadanie 7. (0-4)
Obwód trapezu \(ABCD\) jest równy \(48\) cm, a przekątna \(AC\) ma długość \(4\sqrt{14}\) cm. W trapez ten można wpisać okrąg i można na nim opisać okrąg.
Oblicz:
a) pole trapezu,
Oblicz:
a) pole trapezu,
b) cosinusy kątów ostrych tego trapezu.
Zadanie 8. (0-4)
Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych, w których iloczyn cyfr jest równy \(36\) i które są podzielne przez \(4\).
Zadanie 9. (0-6)
Środek okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(0,3)\) i \(B=(-4,1)\) leży na prostej o równaniu\[
x+y-2=0
\]a) Wyznacz równanie tego okręgu.
x+y-2=0
\]a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz na okręgu taki punkt \(C\), aby kąt \(BAC\) był kątem prostym.
c) Wykaż, że punkt przecięcia wysokości trójkąta \(ABC\), środek okręgu opisanego na tym trójkącie oraz jego środek ciężkości leżą na jednej prostej.
Zadanie 10. (0-5)
Dane jest równanie kwadratowe:\[
mx^2-3(m+4)x+6m+12=0,\quad \text{gdzie } m\neq 0.
\]Dla jakich wartości parametru \(m\) to równanie ma dwa różne rozwiązania i co najmniej jedno z nich jest liczbą dodatnią?
mx^2-3(m+4)x+6m+12=0,\quad \text{gdzie } m\neq 0.
\]Dla jakich wartości parametru \(m\) to równanie ma dwa różne rozwiązania i co najmniej jedno z nich jest liczbą dodatnią?
Zadanie 11. (0-5)
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(\sqrt{6}\) dm. Z wierzchołka tego ostrosłupa poprowadzono wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych. Kąt między tymi wysokościami ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zadanie 12. (0-5)
Funkcja określona wzorem:$f(x)=ax^3+bx^2+1$ osiąga dla argumentu \(x=-2\) maksimum równe \(5\). Wyznacz wartości współczynników \(a\) i \(b\). Oblicz, dla jakiego argumentu \(x\) funkcja \(f\) osiąga minimum, oraz podaj jego wartość.