Zadanie 1
[latexpage]
Dany jest trójkąt o bokach $4$, $6$, $8$. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 2
[latexpage]
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $15$ i $20$ wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.
Zadanie 3
[latexpage]
Z wierzchołka $C$ trójkąta $ABC$ poprowadzono dwusieczną kąta, która przecięła bok $AB$ w punkcie $D$. Wiedząc, że $\left|AB\right|=10$, $\left|BC\right|=8$, a miara kąta $ABC$ wynosi $60^{\circ}$, wyznacz długość odcinka $DB$.
Zadanie 4 czerwiec 2024 (0-4)
[latexpage]
W okrąg o promieniu $4$ wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa $6$. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$.
Zadanie 5
[latexpage]
Podstawy trapezu mają długości $25$ i $4$. Oblicz długość wysokości tego trapezu, wiedząc, że pozostałe jego boki mają długości $20$ i $13$.
Zadanie 6
[latexpage]
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, $\left|AB\right|=10$, $\left|BC\right|=7$, $\left|CD\right|=5$, $\left|DA\right|=4$. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego trapezu.
Zadanie 7
[latexpage]
W trapez prostokątny $ABCD$, w którym $\left|AB\right|=8\left|CD\right|$, wpisano okrąg o promieniu długości $5$. Oblicz obwód tego trapezu.
Zadanie 8 291/226
[latexpage]
W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$, dane są $|AB| = 84$, $|CD| = 36$, $|BC| = |AD| = 40$. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt $\ABP$, gdzie $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu.
Zadanie 9 maj 2015 (0-4)
[latexpage]
Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB| = 2$, $|BC| = 3$, $|CD| = 4$, $|DA| = 5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.
Zadanie 10 275/216
[latexpage]
Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym długości boków wynoszą: $|AB| = 48$, $|BC| = 40$, $|AD| = 14$. Wiedząc, że kąty $\angle DAB$ i $\angle BCD$ są kątami prostymi, oblicz pole czworokąta $ABCD$ oraz długości jego przekątnych.
Zadanie 11 289/225
[latexpage]
Długość ramienia trapezu równoramiennego opisanego na okręgu wynosi $10$. Oblicz pole tego trapezu, wiedząc, że długość jego przekątnej wynosi $\sqrt{164}$.
Zadanie 12. czerwiec 2025 nr 7 (0–4)
[latexpage]
Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB| = 3$, $|BC| = 3$, $|CD| = 5$ oraz $|DA| = 8$, opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 13. grudzień 2024 nr 5 (0–3)
[latexpage]
W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia. Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Zadanie 14. maj 2025 nr 3 (0–3)
[latexpage]
W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}$.
Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.
Zadanie 15. maj 2016 (0–6)
[latexpage]
W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$, dane są $|AB| = 84,\; |CD| = 36,\; |BC| = |AD| = 40.$ Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABP$, gdzie $P$ jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.
Zadanie 16. czerwiec 2025 (0–3)
[latexpage]
Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB| = 2 \cdot |AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.
Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$.
Zadanie 17. maj 2025 nr 7 (0–4)
[latexpage]
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac{1}{2}$.
Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|} = \dfrac{1}{5}$.
Zadanie 18
[latexpage]
Trapez $ABCD$ opisano na okręgu oraz wpisano go w okrąg. Dłuższa podstawa $AB$ tego trapezu ma długość $12$, a przekątna $AC$ ma długość $14$. Oblicz pole tego trapezu.