Zadanie 1 czerwiec 2015 (1 pkt)
[latexpage]
W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:
| A. 30° |
| B. 45° |
| C. 60° |
| D. 75° |
Zadanie 2 377/279
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $20$, a sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy $\dfrac{4}{5}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 3 374/278
[latexpage]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o boku $a = \sqrt{2}$ oraz krawędzi bocznej $b = 2$. Miara kąta pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy jest równa:
| A. 30° |
| B. 75° |
| C. 60° |
| D. 45° |
Zadanie 4 czerwiec 2014 (0-4)
[latexpage]
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ (zobacz rysunek) przekątna $AC$ podstawy ma długość $4\sqrt{2}$. Kąt $ASC$ między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę $60^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 5 czerwiec 2014 (0-1)
[latexpage]
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $432$, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $12$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
| A. 3 |
| B. 9 |
| C. 27 |
| D. 108 |
Zadanie 6 sierpień 2017 (0-1)
[latexpage]
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej $SA$ ostrosłupa do płaszczyzny podstawy $ABCD$ to:
| A. ∡SAO |
| B. ∡SAB |
| C. ∡SOA |
| D. ∡ASB |
Zadanie 7 czerwiec 2025 nr 25 (0-1)
[latexpage]
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:
| A. $2$ |
| B. $\sqrt{5}$ |
| C. $\sqrt{10}$ |
| D. $4$ |
Zadanie 8 grudzień 2024 nr 24 (0-1)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$, że $\tg \alpha = 3$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
| A. $3$ |
| B. $6$ |
| C. $6\sqrt{2}$ |
| D. $12$ |
Zadanie 9 czerwiec 2019 nr 32 (0-5)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt o polu równym $432$, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy $3 : 4$. Przekątne podstawy $ABCD$ przecinają się w punkcie $O$.
Odcinek $SO$ jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt $SAO$ ma miarę $60^\circ$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 10 maj 2023 nr 26 (0-4)
[latexpage]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 czerwiec 2018 nr 32 (0-5)
[latexpage]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H = 16$. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy $\dfrac{3}{5}$.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 12 czerwiec 2023 nr 29 (0-2)
[latexpage]
Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
1.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.
Objętość tego ostrosłupa jest równa …………………………………………….
2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy:
| A. $\sqrt{2}$ |
| B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ |
| C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
Zadanie 13 grudzień 2023 nr 26 (0-3)
[latexpage]
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $384$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$ taki, że $$\tan \alpha = \dfrac{4}{3}.$$ (zobacz rysunek)
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 14 maj 2018 nr 20 (0-1)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $KLMN$ o boku długości $4$. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź $NS$, a jej długość też jest równa $4$ (zobacz rysunek).
Kąt $\alpha$, jaki tworzą krawędzie $KS$ i $MS$, spełnia warunek:
| A. $\alpha = 45^\circ$ |
| B. $45^\circ < \alpha < 60^\circ$ |
| C. $\alpha > 60^\circ$ |
| D. $\alpha = 60^\circ$ |
Zadanie 15 maj 2019 nr 34 (0-5)
[latexpage]
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta $\alpha$.
Zadanie 16 czerwiec 2019 nr 22 (0-1)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$. Krawędź boczna $DS$ jest prostopadła do podstawy i ma długość $3$ (zobacz rysunek).
Pole ściany $BCS$ tego ostrosłupa jest równe:
| A. 20 |
| B. 10 |
| C. 16 |
| D. 12 |
Zadanie 17 lipiec 2020 nr 21 (0-1)
[latexpage]
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa $144$.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:
| A. 18 |
| B. 36 |
| C. 3 |
| D. 6 |
Zadanie 18 czerwiec 2020 nr 34 (0-5)
[latexpage]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego krawędź boczna ma długość $6$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 19 czerwiec 2011 nr 32 (0-4)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb $ABCD$ o boku długości $4$. Kąt $ABC$ rombu ma miarę $120^\circ$, $|AS| = |CS| = 10$ i $|BS| = |DS|$.
Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi $BS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Zadanie 20 maj 2013 nr 33 (0-4)
[latexpage]
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $100\ \text{cm}^2$, a jego pole powierzchni bocznej jest równe $260\ \text{cm}^2$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 21 czerwiec 2014 nr 32 (0-4)
[latexpage]
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ (zobacz rysunek) przekątna $AC$ podstawy ma długość $4\sqrt{2}$. Kąt $ASC$ między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę $60^\circ$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 22 sierpień 2014 nr 33 (0-4)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $22$, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy
$\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 23 czerwiec 2015 2015 nr 21 (0-1)
[latexpage]
W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:
| A. 30° |
| B. 45° |
| C. 60° |
| D. 75° |
Zadanie 24 sierpień 2015 nr 33 (0-4)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3 : 4$, a pole jest równe $192$ (zobacz rysunek). Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 25 sierpień 2015 nr 34 (0-5)
[latexpage]
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym $10$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 26 czerwiec 2016 nr 20 (0-1)
[latexpage]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta $ASC$ jest równa
| A. 45° |
| B. 30° |
| C. 75° |
| D. 90° |