Próbna matura rozszerzona – SMWP 10. 2025

Fundacja założyła w internecie zbiórkę pieniędzy na leczenie, której celem jest uzbieranie 2 500 000 zł. Wraz z publikacją zbiórki, fundacja wpłaciła na nią datek w wysokości \(W_0\) zł. Łączna kwota zbiórki \(K\) zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą\[
K(t)=W_0\cdot g^t
\] gdzie
\(g\) – stała dodatnia, charakterystyczna dla danej zbiórki i dynamiki dokonywanych wpłat
\(t\) – czas wyrażony w dniach, liczony od chwili \(t=0\) publikacji zbiórki

Po dwóch dniach na zbiórkę wpłacono łącznie 50 225 złotych, natomiast po czterech dniach na koncie zbiórki zebrano kwotę 98 441 zł.

Oblicz kwotę wpłaconego datku \(W_0\) przez fundację. Rozstrzygnij, czy w przeciągu dwóch tygodni zbiórka uzbierała potrzebną kwotę na leczenie. Odpowiedź uzasadnij. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę:\[
\lim_{x\to 3^-}\frac{\sqrt{2x^2-x}}{|x-6|-3}
\] Zapisz obliczenia.

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(|CD|=17\) oraz \(|AD|=19\). Przekątna \(|BD|\) czworokąta ma długość \(11\sqrt{6}\), a także $\cos|\angle BAD|=-\frac{2}{17}$. Ponadto, na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg. Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

Franek kupuje porcję lodów. Do wyboru ma osiem smaków: śmietankowy, waniliowy, czekoladowy, truskawkowy, ciasteczkowy, miętowy, karmelowy oraz pistacjowy. Franek prosi sprzedawcę o nałożenie mu dokładnie czterech gałek o losowo wybranym smaku.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że Franek otrzyma co najmniej dwie gałki spośród smaków: śmietankowego, truskawkowego, karmelowego albo pistacjowego, jeżeli wiadomo, że Franek otrzyma dokładnie jedną gałkę o smaku czekoladowym, oraz żaden smak się nie powtórzy. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(2b=a-c\) oraz \(a^2+b^2=1\), prawdziwa jest nierówność \[
2a^2+5b^2>\frac{1}{2}c^2
\]

Na trójkącie \(ABC\), w którym \(|AB|=b\) oraz \(|\angle ACB|=\alpha\) i \(|\angle BAC|=3\alpha\), opisano okrąg o promieniu \(R\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \[
b=R\sqrt{\frac{3\sin\alpha-\sin3\alpha}{\sin\alpha}}
\]

Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) o numerach parzystych jest równa \(444,(4)\), tj. \[
a_2 + a_4 + a_6 + \ldots = 444,(4)
\] Ponadto \(\sqrt{a_1\cdot a_3}=160\) oraz ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) parabole \(f(x)=x^2+8x\) oraz \(g(x)=3x^2+5x+1\) przecinają się w punktach \(A\) oraz \(B\). Ponadto, wektory
\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) oraz \(\overrightarrow{w}\) spełniają zależności: $$\overrightarrow{v}=-8\cdot \overrightarrow{AB}, \qquad
\overrightarrow{u}=[-4,23], \qquad
\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$ Oblicz długość wektora \(\overrightarrow{w}\). Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie\[
\sin 6x-\cos 4x=2\sin\frac{\pi}{4}\cdot(\cos x-\sin x)
\] w przedziale $\left[-\frac{\pi}{3},\, \frac{2\pi}{3}\right]$. Zapisz obliczenia.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[
f(x) = (2m + 1)\cdot x^2 -6x + m-3
\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe \(x_1\) oraz \(x_2\) przeciwnych znaków, które spełniają warunek \[x_1^3 + x_2^3 > (x_1 + x_2)^4\] Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność \[
\frac{x+4}{x^2-9}-\frac{x}{2x+6}\ge \frac{2x}{x-3}+5
\] Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(120^\circ\). Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola podstawy \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez równoramienny o ramieniu długości \(10\) oraz górnej podstawie \(4\). Na rysunku zaznaczono zacieniowany trójkąt \(P\), którego jeden bok jest połową wysokości trapezu. Punkt \(C\) leży na środku ramienia tego trapezu. Niech \(b\) oznacza długość dłuższej podstawy, przy czym \(b>4\) (zobacz rysunek).