Matura próbna#1P Listopad 2025

Zadanie 1. OPERON Listopad nr 1 (0–1)
Liczby \(x_1, x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania:
$$|x + 2,(3)| = 0,(6)$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma \(x_1 + x_2\) jest równa:

A.$–4,(6)$
B.$–1,(7)$
C.$2,9$
D.$4,(6)$

Odpowiedź:
A. $–4,(6)$

Rozwiązanie:

Zadanie 2. OPERON Listopad nr 2 (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Połowa liczby \(\sqrt{32 \cdot \sqrt[3]{8}}\) jest równa:

A.8
B.4
C.2
D.1

Odpowiedź:
B. 4

Rozwiązanie:

Zadanie 3. OPERON Listopad nr 3 (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(5 \log_{0,5} 2-3 \log_{0,5} 1\) jest równa:

A.$–5$
B.$2$
C.\(\log_{0,5}\dfrac{32}{3}\)
D.$-8$

Odpowiedź:
A. $-5$

Rozwiązanie:

Zadanie 4. OPERON Listopad nr 4 (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((3\sqrt{7}+2)^2-(3-2\sqrt{7})^2\) jest równa:

A.$22$
B.$78$
C.\(30 + 24\sqrt{7}\)
D.\(86 + 24\sqrt{7}\)

Odpowiedź:
C. \(30 + 24\sqrt{7}\)

Rozwiązanie:

Zadanie 5. OPERON Listopad nr 5 (0–2)
Wykaż, że liczba \(x\) jest podzielna przez 45, jeśli $x = 243^8 + 15 \cdot 27^{12} + 9^{19}$.

Rozwiązanie:


Zadanie 6. OPERON Listopad nr 6 (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$-2x-\frac{x-5}{3}>4$$ jest przedział:

A.\(\left(-\dfrac{17}{7}, +\infty\right)\)
B.\((-1, +\infty)\)
C.\((-\infty, -1)\)
D.\(\left(\dfrac{17}{7}, +\infty\right)\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 7. OPERON Listopad nr 7 (0–1)
Dane jest równanie $(x^2+5)(x^2-10)(x^2-6x+9)=0$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania. P F
2. Wśród rozwiązań równania jest dokładnie jedna liczba niewymierna. P F

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 8. OPERON Listopad nr 8 (0–2)
Rozwiąż równanie $$\dfrac{x+1}{2x-3} = \dfrac{2x+3}{x-1}$$ dla \(x \neq 1\) i \(x \neq 1{,}5\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 9. OPERON Listopad nr 9 (0–2)
Rozwiąż nierówność:

$$6-x(x-1)>(x-3)(x+2)$$ Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 10. OPERON Listopad 2025 nr 10 (0–1)

Dany jest układ równań $$\begin{cases}5x-3y=-12\\ax+2y=8\end{cases}$$
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A lub B oraz 1., 2. albo 3.
Dany układ jest:

A. nieoznaczony

1. \(a=\dfrac{10}{3}\)

2. \(a=-\dfrac{10}{3}\)

3. \(a=-5\)

B. sprzeczny

1. \(a=\dfrac{10}{3}\)

2. \(a=-\dfrac{10}{3}\)

3. \(a=-5\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 11. OPERON Listopad 2025 nr 11 (0–4)

Funkcja \( f \) jest określona następująco:
\[
f(x)=
\begin{cases}
2x & \text{dla } x\in[-3,-1],\\[4pt]
-2 & \text{dla } x\in(-1,1],\\[4pt]
-3x+6 & \text{dla } x\in(1,4)
\end{cases}
\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiedzi w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

  1. Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział …………………………………………………… .
  2. Zbiorem wartości funkcji \( f \) jest przedział ……………………………………………… .
  3. Miejscem zerowym funkcji \( g(x)=f(x+3) \) jest ……………………………………………. .
  4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \( f(x)\ge 0 \) jest przedział ……………………………………………. .

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 12. OPERON Listopad 2025 nr 12 (0–1)

Funkcja liniowa \( f \) jest określona wzorem \( f(x) = -6x + 3m \).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji \( f \) przecina oś \( Oy \) powyżej punktu \((0,12)\) dla \( m \) równego:

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 13. OPERON Listopad 2025 nr 13 (0–1)

Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) dla \(x=-2\) osiąga wartość największą równą 5. Jednym z dwóch miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x=-6\).

Zadanie 13.1. OPERON Listopad 2025 nr 13.1 (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Funkcja \( f(x) \) jest malejąca w przedziale \((-\infty,\,-2]\). P F
2. Dla \( x=0 \) funkcja przyjmuje wartość większą od 5. P F

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 13.2. OPERON Listopad 2025 nr 13.2 (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wartości funkcji \( f \) jest przedział:

A.$(-∞, -2]$
B.$(-∞, 5]$
C.$[-2, +∞)$
D.$(5, +∞)$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 13.3. OPERON Listopad 2025 nr 13.3 (0–3)

Wyznacz wzór funkcji \( f \) w postaci iloczynowej. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:


Zadanie 14. OPERON Listopad 2025 nr 14 (0–2)

Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem rekurencyjnym:
\[
\begin{cases}
a_1=-2, \\
a_{n+1}=2a_n-3n
\end{cases}
\quad \text{dla każdej liczby naturalnej } n \ge 1.
\]

Oblicz \( |a_2-a_3| \). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 15. OPERON Listopad 2025 nr 15 (0–2)

W skończonym ciągu arytmetycznym \( (a_n) \) przedostatni wyraz jest równy \(-30\), a ostatni jest równy \(-33\). Trzeci wyraz ciągu \( (a_n) \) jest równy \( 3 \).

Oblicz liczbę wyrazów ciągu \( (a_n) \). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 16. OPERON Listopad 2025 nr 16 (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg o kolejnych wyrazach \( (2,\;2m,\;m+3) \) jest rosnącym ciągiem geometrycznym dla \( m \) równego:

A.$-1$
B.$3$
C.$1{,}5$
D.\(\dfrac{5}{3}\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 17. OPERON Listopad 2025 nr 17 (0–2)

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną oraz \(|AB| = 15\), \(|BC| = 7\) i \(\angle ABC = \alpha\).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–G i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wartości wyrażeń są poprawnie zapisane w odpowiedziach oznaczonych literami: …… oraz …… .

A. \(\sin\alpha = \dfrac{4\sqrt{11}}{7}\)

B. \(\sin\alpha = \dfrac{7}{15}\)

C. \(\cos\alpha = \dfrac{7}{15}\)

D. \(\cos\alpha = \dfrac{4\sqrt{11}}{7}\)

E. \(\cos\alpha = \dfrac{4\sqrt{11}}{15}\)

F. \(\tan\alpha = \dfrac{4\sqrt{11}}{7}\)

G. \(\tan\alpha = \dfrac{7}{4\sqrt{11}}\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 18. OPERON Listopad 2025 nr 18 (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \( \sin 150^\circ-\cos 120^\circ \) to:

A.$0$
B.\(\dfrac{1}{2}\)
C.\(\sqrt{3}\)
D.$1$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 19. OPERON Listopad 2025 nr 19

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków: \(|AB| = 12,\; |AC| = 5\) oraz \(\angle BAC = 60^\circ\).

Zadanie 19.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

A.$15$
B.\(15\sqrt{3}\)
C.\(30\sqrt{3}\)
D.$30$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 19.2. (0–2)

Wyznacz długość środkowej trójkąta \(ABC\) poprowadzonej z wierzchołka \(C\).

Odpowiedź:
Środkowa \(m_c = \frac{\sqrt{133}}{2}\)

Rozwiązanie:

Najpierw liczymy długość boku \(BC\) z twierdzenia cosinusów:
\[
BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2\cdot AC \cdot AB \cdot \cos 60^\circ
\]
\[
BC^2 = 5^2 + 12^2 – 2\cdot 5\cdot 12 \cdot \frac{1}{2}
= 25 + 144 – 60
= 109
\]
\[
BC = \sqrt{109}
\]

Środkowa z wierzchołka \(C\):
\[
m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 – BC^2}
\]
Podstawiamy:
\[
m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 12^2 + 2\cdot 5^2 – 109}
\]
\[
m_c = \frac{1}{2}\sqrt{288 + 50 – 109}
= \frac{1}{2}\sqrt{229}
= \frac{\sqrt{229}}{2}
\]

Zadanie 20. OPERON Listopad 2025 nr 20 (0–1)

Punkty A, B oraz M leżą na okręgu o środku S. Proste k i l są styczne do tego okręgu, odpowiednio w punktach A i B. Proste przecinają się w punkcie P i tworzą kąt o mierze \(42^\circ\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta AMB jest równa:

A.\(21^\circ\)
B.\(42^\circ\)
C.\(69^\circ\)
D.\(138^\circ\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 21. OPERON Listopad 2025 nr 21 (0–1)

Punkty \( A = (-7,3) \) i \( C = (4,5) \) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód tego kwadratu jest równy:

A.\(10\sqrt{10}\)
B.\(5\sqrt{10}\)
C.$10$
D.$125$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 22. OPERON Listopad 2025 nr 22 (0–4)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A = (1,4)\) oraz \(B = (5,6) \). Bok \(AC\) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $6x-y-2=0$, oraz bok \( BC \) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $4x + 3y-38=0$. Przez środek boku \(AC\) poprowadzono prostą \(k\), równoległą do boku \(BC\). Wyznacz współrzędne punktu, w którym prosta \(k\) przecina oś \(Oy\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 23. OPERON Listopad 2025 nr 23 (0–1)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S(-2,5)\) i promieniu \(\sqrt{7}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obrazem okręgu \(O\) w symetrii względem osi \(Ox\) jest okrąg opisany równaniem:

A.$(x−2)^2+(y+5)^2=7$
B.$(x+2)^2+(y+5)^2=49$
C.$(x−2)^2+(y−5)^2=7$
D.$(x+2)^2+(y+5)^2=7$

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 24.1. OPERON Listopad 2025 nr 24.1 (0–1)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(18\sqrt{2}\), a krawędź podstawy ostrosłupa ma długość \(6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość wysokości tego ostrosłupa jest równa:

A.\(3\sqrt{2}\)
B.\(2\sqrt{6}\)
C.\(6\sqrt{6}\)
D.\(18\sqrt{6}\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 24.2. OPERON Listopad 2025 nr 24.2 (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. P F
2. Objętość ostrosłupa zmniejszono trzykrotnie, wysokość ostrosłupa nie zmieniła się, wówczas krawędź podstawy ma długość 2. P F

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 25. OPERON Listopad 2025 nr 25 (0–1)

Objętość walca o wysokości \(12\) jest równa \(96\pi\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Promień podstawy tego walca jest równy:

A.$16$
B.$8$
C.$4$
D.\(2\sqrt{2}\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 26. OPERON Listopad 2025 nr 26 (0–1)

Ze zbioru cyfr \(\{0,1,2,3,5,6,7,8\}\) losujemy czterokrotnie bez zwracania po jednej cyfrze i w kolejności losowania tworzymy z nich liczby czterocyfrowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb czterocyfrowych parzystych jest:

A.\(7 \cdot 6 \cdot 5 + 6 \cdot 5 \cdot 3\)
B.\(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\)
C.\(7 \cdot 7 \cdot 6 + 6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 3\)
D.\(7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 4\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 27. OPERON Listopad 2025 nr 27 (0–1)

W pudełku znajdują się wyłącznie kule czarne i zielone. Kul czarnych jest o 25% więcej niż kul zielonych. Losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest równe:

A.\(\dfrac14\)
B.\(\dfrac34\)
C.\(\dfrac49\)
D.\(\dfrac59\)

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 28. OPERON Listopad 2025 nr 28

W klasach pierwszych pewnego liceum przeanalizowano dane dotyczące liczby przeczytanych książek w październiku 2025 r. Wszystkich uczniów w klasach pierwszych jest 150. W tabeli przedstawiono zebrane wyniki:

Klasa 1A 1B 1C 1D 1E
Liczba uczniów 26 33 32 29 30
Liczba przeczytanych książek w klasie 117 132 136 87 135

Zadanie 28.1. OPERON Listopad 2025 nr 28.1 (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. W klasach 1A i 1E średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek na jednego ucznia jest taka sama. P F
2. W dokładnie jednej z klas średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek na jednego ucznia jest mniejsza od 4. P F

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 28.2. OPERON Listopad 2025 nr 28.2 (0–1)

Oblicz średnią arytmetyczną liczby przeczytanych książek wśród uczniów wszystkich klas pierwszych. Wynik zaokrąglij z dokładnością do 0,01. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 29.

Właściciel sklepu z rowerami przeprowadził wśród rodziców jedenastolatków w swoim mieście badania dotyczące wpływu zmiany ceny pewnego modelu roweru na liczbę kupujących ten sprzęt. Z badań wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży rowerów w zależności od kwoty obniżki ceny roweru o \(x\) złotych wyraża się wzorem: $$P(x)=10(84-x)(10+x)$$ gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą dodatnią, nie większą niż 70.

Zadanie 29.1. OPERON Listopad 2025 nr 29.1 (0–1)

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Dzienny przychód ze sprzedaży rowerów będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa ……….

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Zadanie 29.2. OPERON Listopad 2025 nr 29.2 (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dzienny przychód ze sprzedaży rowerów będzie równy 21600, gdy liczba \(x\) jest równa:

A.10
B.30
C.37
D.47

Odpowiedź:

Rozwiązanie: