Zadanie 1
Liczba wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa jest o 12 większa od liczby wszystkich jego wierzchołków. Ustal, jakim wielokątem jest podstawa tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
Podstawą tego graniastosłupa jest dwunastokąt.
Rozwiązanie:
Krok 1. Zapis liczby krawędzi i wierzchołków graniastosłupa.
Niech podstawa graniastosłupa będzie $n$-kątem (wielokątem o $n$ bokach).
Wtedy graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma:
$$
\text{liczba wierzchołków} = 2n
$$
$$
\text{liczba krawędzi} = 3n
$$
Krok 2. Zapis warunku z treści zadania.
Z treści:
$$
\text{liczba krawędzi} = \text{liczba wierzchołków} + 12
$$
Podstawiamy wzory:
$$
3n = 2n + 12
$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Przenosimy $2n$ na lewą stronę:
$$
3n-2n = 12
$$
$$
n = 12
$$
Krok 4. Wniosek.
Otrzymaliśmy, że podstawa graniastosłupa jest $n$-kątem o $n = 12$ bokach, czyli podstawą graniastosłupa jest dwunastokąt.
Zadanie 1
Liczba wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa jest o 18 większa od liczby wszystkich jego wierzchołków. Ustal, jakim wielokątem jest podstawa tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
Podstawą tego graniastosłupa jest osiemnastokąt.
Rozwiązanie:
Krok 1. Zapis liczby krawędzi i wierzchołków graniastosłupa.
Niech podstawa graniastosłupa będzie $n$-kątem (wielokątem o $n$ bokach).
Wtedy graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma:
$$
\text{liczba wierzchołków} = 2n
$$
$$
\text{liczba krawędzi} = 3n
$$
Krok 2. Zapis warunku z treści zadania.
Z treści:
$$
\text{liczba krawędzi} = \text{liczba wierzchołków} + 18
$$
Podstawiamy wzory:
$$
3n = 2n + 18
$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Przenosimy $2n$ na lewą stronę:
$$
3n – 2n = 18
$$
$$
n = 18
$$
Krok 4. Wniosek.
Otrzymujemy, że podstawa graniastosłupa jest wielokątem o $n = 18$ bokach, czyli podstawą graniastosłupa jest osiemnastokąt.
Zadanie 2
Objętość pewnego sześcianu jest równa \(512\ \text{cm}^3\). Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Odpowiedź:
\( d = 8\sqrt{3}\ \text{cm} \)
Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Objętość sześcianu wyraża się wzorem:
$$V = a^3$$
$$a^3 = 512$$
Spierwiastkujemy równanie pierwiastkiem trzeciego stopnia:
$$a = \sqrt[3]{512}$$
$$a = 8\ \text{cm}$$
Krok 2. Obliczenie przekątnej sześcianu.
Wzór na przekątną sześcianu:
$$d = a\sqrt{3}$$
$$d = 8\sqrt{3}\ \text{cm}$$
Odpowiedź:
\( d = 8\sqrt{3}\ \text{cm} \)
Zadanie 2
Objętość pewnego sześcianu jest równa \(216\ \text{cm}^3\). Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Odpowiedź:
\( d = 6\sqrt{3}\ \text{cm} \)
Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Objętość sześcianu wyraża się wzorem:
$$V = a^3$$
$$a^3 = 216$$
Spierwiastkujemy równanie pierwiastkiem trzeciego stopnia:
$$a = \sqrt[3]{216}$$
$$a = 6\ \text{cm}$$
Krok 2. Obliczenie przekątnej sześcianu.
Wzór na przekątną sześcianu:
$$d = a\sqrt{3}$$
$$d = 6\sqrt{3}\ \text{cm}$$
Odpowiedź:
\( d = 6\sqrt{3}\ \text{cm} \)
Zadanie 3
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |𝐵𝐷| = 10, a ponadto |𝐶𝐷| = 2 + |𝐵𝐶| oraz |∡𝐶𝐷𝐺| = 45° (zobacz rysunek).
Odpowiedź:
\( V = 384,\quad P_b = 224 \)
Rozwiązanie:
Krok 1. Oznaczenie niewiadomej i zapis zależności w podstawie.
Niech długość boku BC będzie równa:
$$
|BC| = x
$$
Wtedy z zależności z treści:
$$
|CD| = 2 + |BC| = x + 2
$$
Ponieważ ABCD jest prostokątem, przekątna BD podzieliła go na dwa trójkąty prostokątne więc stosujemy Twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości boków przy podstawie:
$$
|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2
$$
Podstawiamy dane:
$$
10^2 = x^2 + (x+2)^2
$$
Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Rozwijamy nawias:
$$
10^2 = x^2 + x^2 + 4x + 4
$$
$$
100 = 2x^2 + 4x + 4
$$
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$
2x^2 + 4x + 4-100 = 0
$$
$$
2x^2 + 4x-96 = 0
$$
Dzielimy równanie przez $2$:
$$
x^2 + 2x-48 = 0
$$
Liczymy deltę:
$$
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (-48)
$$
$$
\Delta = 4 + 192 = 196
$$
$$
\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14
$$
$$
x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6
$$
$$
x_2 = \frac{-2-14}{2} = \frac{-16}{2} = -8
$$
Ponieważ x oznacza długość boku BC, nie może być ujemny, więc:
$$
x_2 =-8 \quad \text{odrzucamy},
$$
a przyjmujemy:
$$
x = x_1 = 6
$$
Krok 3. Wyznaczenie boków podstawy i jej pola.
Mamy:
$$
|BC| = 6
$$
$$
|CD| = x + 2 = 6 + 2 = 8
$$
Prostokąt ABCD ma więc wymiary $6$ i $8$, zatem:
$$
P_p = |BC| \cdot |CD| = 6 \cdot 8 = 48
$$
Krok 4. Wyznaczenie wysokości graniastosłupa.
Punkt G leży nad punktem C, więc odcinek CG jest wysokością graniastosłupa:
$$
h = |CG|
$$
Trójkąt CDG jest trójkątem prostokątnym o kątach $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$, czyli jest to trójkąt prostokątny równoramienny.
Zatem przyprostokątne są równe:
$$
|CD| = |CG|
$$
Stąd wysokość:
$$
h = |CG| = |CD| = 8
$$
Krok 5. Objętość graniastosłupa.
Objętość:
$$
V = P_p \cdot h = 48 \cdot 8 = 384
$$
Krok 6. Pole powierzchni bocznej.
Ponieważ graniastosłup prosty ma 4 ściany boczne, a każda z nich jest prostokątem, to pole powierzchni bocznej obliczamy jako sumę pól tych czterech prostokątów:
- ściana 1: $AB \cdot h = 8 \cdot 8 = 64$
- ściana 2: $BC \cdot h = 6 \cdot 8 = 48$
- ściana 3: $CD \cdot h = 8 \cdot 8 = 64$
- ściana 4: $DA \cdot h = 6 \cdot 8 = 48$
Sumujemy pola czterech prostokątów:
$$
P_b = 64 + 48 + 64 + 48=224
$$
Odpowiedź:
$V = 384, P_b = 224$
Zadanie 3
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD| = 15, a ponadto |CD| = 3 + |BC| oraz |∡CDG| = 45° (zobacz rysunek).
Odpowiedź:
\( V = 1296, P_b = 504 \)
Rozwiązanie:
Krok 1. Oznaczenie niewiadomej i zapis zależności w podstawie.
Niech:
$$
|BC| = x
$$
Wtedy z treści:
$$
|CD| = x + 3
$$
Ponieważ ABCD jest prostokątem, stosujemy Twierdzenie Pitagorasa:
$$
|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2
$$
Podstawiamy dane:
$$
15^2 = x^2 + (x+3)^2
$$
Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Rozwijamy nawias:
$$
225 = x^2 + x^2 + 6x + 9
$$
$$
225 = 2x^2 + 6x + 9
$$
Przenosimy:
$$
2x^2 + 6x + 9 – 225 = 0
$$
$$
2x^2 + 6x – 216 = 0
$$
Dzielimy przez 2:
$$
x^2 + 3x – 108 = 0
$$
Liczymy deltę:
$$
\Delta = 3^2 – 4\cdot 1 \cdot (-108)
$$
$$
\Delta = 9 + 432 = 441
$$
$$
\sqrt{\Delta} = 21
$$
Wyznaczamy pierwiastki:
$$
x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9
$$
$$
x_2 = \frac{-3 – 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12
$$
Ponieważ długość boku nie może być ujemna:
$$
x_2 = -12 \quad \text{odrzucamy}
$$
Przyjmujemy:
$$
x = x_1 = 9
$$
Krok 3. Wyznaczenie boków podstawy i jej pola.
$$
|BC| = 9,\quad |CD| = 9 + 3 = 12
$$
Z prostokąta:
$$
|AB| = |CD| = 12,\quad |AD| = |BC| = 9
$$
Pole podstawy:
$$
P_p = 9 \cdot 12 = 108
$$
Krok 4. Wyznaczenie wysokości graniastosłupa.
W trójkącie CDG jest kąt prosty i kąt \(45^\circ\), więc:
$$
h = |CG| = |CD| = 12
$$
Krok 5. Objętość graniastosłupa.
Objętość:
$$
V = P_p \cdot h = 108 \cdot 12 = 1296
$$
Krok 6. Pole powierzchni bocznej.
Ponieważ graniastosłup prosty ma 4 ściany boczne, a każda z nich jest prostokątem, to pole powierzchni bocznej obliczamy jako sumę pól tych czterech prostokątów:
- ściana 1: \(AB \cdot h = 12 \cdot 12 = 144\)
- ściana 2: \(BC \cdot h = 9 \cdot 12 = 108\)
- ściana 3: \(CD \cdot h = 12 \cdot 12 = 144\)
- ściana 4: \(DA \cdot h = 9 \cdot 12 = 108\)
Sumujemy pola czterech prostokątów:
$$
P_b = 144 + 108 + 144 + 108 = 504
$$
Odpowiedź:
\(V = 1296, P_b = 504\)