Zadanie 1. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $$\dfrac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{16}+\sqrt{9}}$$ jest równa:
Liczba $$\dfrac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{16}+\sqrt{9}}$$ jest równa:
A.1
B.\(\dfrac{25}{7}\)
C.\(\dfrac{5}{7}\)
D.\(\dfrac{7}{25}\)
Rozwiązanie:
$
\dfrac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{16}+\sqrt{9}}
=
\dfrac{\sqrt{25}}{4+3}
=
\dfrac{5}{7}$
Odpowiedź: C.
$
\dfrac{\sqrt{16+9}}{\sqrt{16}+\sqrt{9}}
=
\dfrac{\sqrt{25}}{4+3}
=
\dfrac{5}{7}$
Odpowiedź: C.
Zadanie 2. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $$\log_{2\sqrt{3}} 144$$ jest równa:
Liczba $$\log_{2\sqrt{3}} 144$$ jest równa:
A.9
B.4
C.3
D.2
Rozwiązanie:
$\log_{2\sqrt{3}} 144$
$(2\sqrt{3})^x = 144$
$(2\sqrt{3})^x = 12^2$
$(2\sqrt{3})^x = (4\cdot 3)^2$
$(2\sqrt{3})^x = (2^2 \cdot \sqrt{3^2})^2$
$(2\sqrt{3})^x = (2\sqrt{3})^{2\cdot 2}$
$(2\sqrt{3})^x = (2\sqrt{3})^4$
$x = 4$
Odpowiedź: C.
$\log_{2\sqrt{3}} 144$
$(2\sqrt{3})^x = 144$
$(2\sqrt{3})^x = 12^2$
$(2\sqrt{3})^x = (4\cdot 3)^2$
$(2\sqrt{3})^x = (2^2 \cdot \sqrt{3^2})^2$
$(2\sqrt{3})^x = (2\sqrt{3})^{2\cdot 2}$
$(2\sqrt{3})^x = (2\sqrt{3})^4$
$x = 4$
Odpowiedź: C.
Zadanie 3. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$5-\dfrac{1}{7}x>4\dfrac{3}{5} + 2x$$ jest przedział:
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$5-\dfrac{1}{7}x>4\dfrac{3}{5} + 2x$$ jest przedział:
A.\(\left(-\infty,\; -\dfrac{14}{75}\right)\)
B.\(\left(-\infty,\; \dfrac{14}{75}\right)\)
C.\(\left(-\dfrac{14}{75},\; +\infty\right)\)
D.\(\left(\dfrac{14}{75},\; +\infty\right)\)
Odpowiedź: B.
Zadanie 4. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $$\left(7\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^2$$ jest równa:
Liczba $$\left(7\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^2$$ jest równa:
A.$165$
B.\(165-21\sqrt{6}\)
C.\(165-42\sqrt{6}\)
D.\(165-42\sqrt{5}\)
Odpowiedź: C.
Zadanie 5. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań $$\begin{cases}2x-y=-5 \\-10x + 5y=10\end{cases}$$
Układ równań $$\begin{cases}2x-y=-5 \\-10x + 5y=10\end{cases}$$
A.ma dokładnie jedno rozwiązanie.
B.ma dokładnie dwa rozwiązania.
C.nie ma rozwiązań.
D.ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź: C.
Zadanie 6. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Pan Zenon wpłacił do banku kwotę 10 000 zł na lokatę pięcioletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 3% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po pięciu latach oszczędzania pan Zenon wypłacił z banku wraz z odsetkami (bez uwzględnienia podatków) kwotę:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po pięciu latach oszczędzania pan Zenon wypłacił z banku wraz z odsetkami (bez uwzględnienia podatków) kwotę:
A.11 333,33 zł
B.11 123,92 zł
C.11 529,47 zł
D.11 592,74 zł
Odpowiedź: D.
Zadanie 7. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Rozwiąż nierówność:$$2x^2-13x + 15\ge0$$ Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $x\in \left( -\infty ,\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 5,+\infty \right)$
Zadanie 8. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie $$(x^2-10)(x-5)(x + 1)=0$$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
A. jedno rozwiązanie: \(5\)
B. dwa rozwiązania: \(5\) oraz \((-1)\)
C. trzy rozwiązania: \(\sqrt{10},\; 5,\; (-1)\)
D. cztery rozwiązania: \(\sqrt{10},\; -\sqrt{10},\; 5,\; (-1)\)
Równanie $$(x^2-10)(x-5)(x + 1)=0$$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
A. jedno rozwiązanie: \(5\)
B. dwa rozwiązania: \(5\) oraz \((-1)\)
C. trzy rozwiązania: \(\sqrt{10},\; 5,\; (-1)\)
D. cztery rozwiązania: \(\sqrt{10},\; -\sqrt{10},\; 5,\; (-1)\)
Odpowiedź: D.
Zadanie 9. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie $$\dfrac{x+1}{x-3} \cdot \dfrac{x-1}{x+3}$$ po uproszczeniu przyjmuje postać:
Wyrażenie $$\dfrac{x+1}{x-3} \cdot \dfrac{x-1}{x+3}$$ po uproszczeniu przyjmuje postać:
A.\(\dfrac{x^2-1}{x^2-3}\)
B.\(\dfrac{x^2-1}{x^2-9}\)
C.\(\left(\dfrac{x-1}{x-3}\right)^2\)
D.\(\left(\dfrac{x + 1}{x + 3}\right)^2\)
Odpowiedź: B.
Zadanie 10. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\), \(n\ge 1\), liczba $n^3-n$ jest podzielna przez 6.
Odpowiedź:
Zadanie 11. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Na rysunku poniżej, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| 1. | Zbiorem wartości funkcji \( f \) jest przedział \((-2,\,2)\). | P | F |
| 2. | Funkcja \( f \) jest stała w zbiorze \([3,\,4]\). | P | F |
Odpowiedź: FP
Zadanie 12. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem $f(x)=(7-2k)x+k+3$, gdzie \(k\in \mathbb{R}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(f\) jest rosnąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(f\) jest rosnąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału:
A.\(\left(-\infty,\,-3\right)\)
B.\(\left(-\infty,\,\dfrac{7}{2}\right)\)
C.\(\left(-3,\,+\infty\right)\)
D.\(\left(\dfrac{7}{2},\,+\infty\right)\)
Odpowiedź: B.
Zadanie 13. (0-2) Pazdro 1/2025
Dana jest funkcja kwadratowa \( f \) określona wzorem $$f(x)=-2(x-2)^2 + 8$$
a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \( f \) jest prosta o równaniu:
Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \( f \) jest prosta o równaniu:
A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=8$
D.$x=-8$
?
Odpowiedź: B.
b) Zapisz wzór funkcji \( f \) w postaci iloczynowej.
?
$f(x)=-2x(x-4)$
Zadanie 14. (0-1) Pazdro 1/2025
?
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_2 = 12\) oraz \(a_4 = 192\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy:
A.$3$
B.$6$
C.$0,5$
D.\((-3)\)
Odpowiedź: A.
Zadanie 15. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem $a_n = 3 \cdot (-2)^n-2$ dla każdej liczby naturalnej \( n \), \( n \ge 1 \).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\((-16)\)
B.\((-24)\)
C.$44$
D.$12$
Odpowiedź: B.
Zadanie 16. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Trzywyrazowy ciąg \((15,\; 9,\; 4m-17)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest:
A. rosnący
B. malejący
oraz
1. \(m = 3\)
2. \(m = 5\)
3. \(m = 6\)
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest:
A. rosnący
B. malejący
oraz
1. \(m = 3\)
2. \(m = 5\)
3. \(m = 6\)
Odpowiedź: B2
Zadanie 17. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \tan \alpha = 3 \).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta \( \alpha \) jest równy:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta \( \alpha \) jest równy:
A.\(\dfrac{1}{3}\)
B.\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
C.\(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
D.\(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
Odpowiedź: C.
Zadanie 18. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Trójkąty ABC i BDE są prostokątne. Punkty D i E leżą odpowiednio na przeciwprostokątnej i przyprostokątnej trójkąta ABC (patrz rysunek).
Udowodnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta BDE.
Udowodnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta BDE.
Odpowiedź:
Zadanie 19. a) (0-2) b) (0-1) Pazdro 1/2025
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 6\), \(|AC| = 7\), a \(\angle BAC = \alpha\).
Wiadomo również, że \(\cos \alpha = \dfrac{1}{4}\).
Wiadomo również, że \(\cos \alpha = \dfrac{1}{4}\).
a) Oblicz długość odcinka \(BC\). Zapisz obliczenia.
?
Odpowiedź: 8
b) Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
?
Odpowiedź: $P=\frac{21\sqrt{15}}{4}$
Zadanie 20. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Punkty A, B, C i D leżą na okręgu i wraz z jego środkiem O tworzą pięciokąt. (patrz rysunek).
Wyznacz miarę kąta \(\alpha\), czyli \(\angle OAD\). Zapisz obliczenia.
Wyznacz miarę kąta \(\alpha\), czyli \(\angle OAD\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $\alpha=20^{\circ }$
Zadanie 21. (0-2) Pazdro 1/2025
?
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany okrąg o środku w punkcie \(S = (3,\,-5)\) i średnicy \(\sqrt{8}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg można opisać równaniem:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg można opisać równaniem:
A.\((x + 3)^2 + (y-5)^2 = 8\)
B.\((x-3)^2 + (y + 5)^2 = 8\)
C.\((x-3)^2 + (y + 5)^2 = 2\)
D.\((x + 3)^2 + (y-5)^2 = 2\)
Odpowiedź: C.
Zadanie 22. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Oblicz odległość środka odcinka \(AB\) o końcach \(A = (-3,\;5)\) i \(B = (7,\;11)\) od początku kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,\;y)\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $\left| OS \right|=2\sqrt{17}$
Zadanie 23. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Graniastosłup prawidłowy ma 22 wierzchołki.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
A.66
B.33
C.22
D.11
Odpowiedź: B.
Zadanie 24. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Objętość sześcianu jest równa \(54\sqrt{2}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przekątna ściany sześcianu ma długość:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przekątna ściany sześcianu ma długość:
A.\(3\sqrt{2}\)
B.$6$
C.\(3\sqrt{6}\)
D.\(2\sqrt{3}\)
Odpowiedź: B.
Zadanie 25. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym (dane jak na rysunku).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni bocznej stożka jest równe:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni bocznej stożka jest równe:
A.\(12\sqrt{34}\pi\)
B.\(24\sqrt{34}\pi\)
C.\(72\pi\)
D.\(12\sqrt{34}\)
Odpowiedź: A.
Zadanie 26. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Średnica podstawy walca ma długość \(10\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(40\pi\).
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca oraz jego objętość. Zapisz obliczenia.
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca oraz jego objętość. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $P_{c}=90\pi, V=100\pi$
Zadanie 27. (0-3) Pazdro 1/2025
?
Objętość prostopadłościanu o wysokości \(10\) jest równa \(480\). Stosunek długości krawędzi podstawy jest równy \(3:4\). Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $\alpha=45^{\circ }$
Zadanie 28. (0-1) Pazdro 1/2025
?
Rozważamy wszystkie kody pięciocyfrowe utworzone z wszystkich dziesięciu cyfr, przy czym cyfra 0 znajduje się w środku kodu i występuje dokładnie jeden raz.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich takich kodów jest równa:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich takich kodów jest równa:
A.\(10^5\)
B.\(9^4\)
C.\(9^5\)
D.\(4^9\)
Odpowiedź: B.
Zadanie 29. (0-2) Pazdro 1/2025
?
Ze zbioru dodatnich liczb naturalnych jednocyfrowych losujemy bez zwracania kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest nie mniejsza niż 15. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $P(A)=\frac{1}{9}$
Zadanie 30. a) (0-1) b) (0-1) Pazdro 1/2025
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z fizyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
A.4,2
B.4
C.3
D.3,7
?
Odpowiedź: D.
b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
A.8
B.6
C.4
D.7
?
Odpowiedź: C.
Zadanie 31. (0-4) Pazdro 1/2025
?
O dwóch dodatnich liczbach \(a\) i \(b\) wiadomo, że \(a + b = 30\). Oblicz, dla jakich liczb \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia \(3a^2 + 2b^2\) będzie możliwie najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $a=12, b=18, W(12)=1080$