10.8R Uczeń oblicza granice ciągów (7)

Rozwiązanie:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\sim\frac{1}{2}n^2,$$
$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{3n^3+4}\sim\frac{\frac12 n^2}{3n^3}=\frac{1}{6n}\to0.$$

Rozwiązanie:

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n-2n^2}=\frac{\frac12n^2+\frac12n}{-2n^2+n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{\frac12}{-2}=-\frac14.$$

Rozwiązanie:

$$2+4+\cdots+2n=2(1+\cdots+n)=n(n+1),$$
$$\frac{n(n+1)}{1+n+n^2}\to\frac{n^2}{n^2}=1.$$

Rozwiązanie:

Licznik: $4(1+\cdots+n)=2n(n+1)\sim2n^2$.
Mianownik: suma $n$ pierwszych nieparzystych $=n^2$.
Zatem granica $2n^2/n^2\to2.$

Rozwiązanie:

$$1+\cdots+2n=\frac{2n(2n+1)}{2}=2n^2+n.$$
$$a_n=\frac{2n^2+n}{n^2+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{2}{1}=2.$$

Rozwiązanie:

$$1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
$$a_n=\frac{4n^2-3n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}\sim\frac{4n^2}{\frac12 n^2}=8.$$

Rozwiązanie:

Niech $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Wówczas
$$a_n=\frac{S_n+n+1}{S_n}=1+\frac{n+1}{S_n}=1+\frac{2}{n}\to1.$$

Rozwiązanie:

$$1+3+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2.$$
$$a_n=\frac{1000n}{(n+1)^2}\to 0.$$

Rozwiązanie:

$$2+4+\cdots+(2n+2)=2(1+\cdots+(n+1))=(n+1)(n+2)\sim n^2.$$
Mianownik $\sim n^3$, więc granica $0$.

Rozwiązanie:

Parujemy: $(1-2)+(3-4)+\cdots+((2n-1)-2n)=-1-\cdots-1=-n$.
$$a_n=\frac{-n}{n+4}\to-1.$$