10.5R Uczeń oblicza granice ciągów (4)

Zadanie 4.1
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(2n+1)^3}{(n+2)^3}$$

Odpowiedź: $8$

Rozwiązanie:

Rozwijamy postać:
$$a_n=\left(\frac{2n+1}{n+2}\right)^3$$

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez $n$:
$$a_n=\left(\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}\right)^3$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\left(\frac{2}{1}\right)^3=8$$

Zadanie 4.2
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(n+1)^4}{(n+2)^4}$$

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie:

Zapisujemy:
$$a_n=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^4$$

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez $n$:
$$a_n=\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}\right)^4$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\left(\frac{1}{1}\right)^4=1$$

Zadanie 4.3
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(n+2)^2}{(2n-1)^2}$$

Odpowiedź: $\dfrac{1}{4}$

Rozwiązanie:

Zapisujemy:
$$a_n=\left(\frac{n+2}{2n-1}\right)^2$$

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez $n$:
$$a_n=\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{2-\frac{1}{n}}\right)^2$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Zadanie 4.4
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(2n+3)^3}{(n+3)^3}$$

Odpowiedź: $8$

Rozwiązanie:

Zapisujemy:
$$a_n=\left(\frac{2n+3}{n+3}\right)^3$$

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez $n$:
$$a_n=\left(\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)^3$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\left(\frac{2}{1}\right)^3=8$$

Zadanie 4.5
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(3-2n^2)(n-6)}{(2n-5)^3}$$

Odpowiedź: $-\dfrac{1}{4}$

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik:

Zadanie 4.6
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(n-1)(3n+1)^2}{(3n-1)(n^2+4)}$$

Odpowiedź: $3$

Rozwiązanie:

Rozwijamy licznik i mianownik:
$$a_n=\frac{(n-1)(9n^2+6n+1)}{(3n-1)(n^2+4)}$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:
$$a_n=\frac{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{9}{n}-\frac{6}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{3+\frac{-1}{n}+\frac{12}{n^2}-\frac{4}{n^3}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{9}{3}=3$$

Zadanie 4.7
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{(n+1)^2(2n-1)^2}{(n+2)^4}$$

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie:

Łączymy wyrażenie:
$$a_n=\left(\frac{(n+1)(2n-1)}{(n+2)^2}\right)^2$$

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\left(\frac{(1+\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})}{(1+\frac{2}{n})^2}\right)^2$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\left(\frac{2}{1}\right)^2=4$$