10.2R Uczeń oblicza granice ciągów (1)

Zadanie 1.1
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3n+1}{4n+2}$$


Odpowiedź: $\dfrac{3}{4}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:
$$a_n=\frac{3+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{4}$$

Zadanie 1.2
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{n+3}{10n-6}$$


Odpowiedź: $\dfrac{1}{10}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:
$$a_n=\frac{1+\frac{3}{n}}{10-\frac{6}{n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{10}$$

Zadanie 1.3
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{1-4n}{2n-5}$$


Odpowiedź: $-2$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:
$$a_n=\frac{\frac{1}{n}-4}{2-\frac{5}{n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-4}{2}=-2$$

Zadanie 1.4
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{6-8n}{4-3n}$$


Odpowiedź: $\dfrac{8}{3}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:
$$a_n=\frac{\frac{6}{n}-8}{\frac{4}{n}-3}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-8}{-3}=\frac{8}{3}$$

Zadanie 1.5
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{\tfrac{1}{2}n+8}{2n+4}$$


Odpowiedź: $\dfrac{1}{4}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:
$$a_n=\frac{\tfrac{1}{2}+\frac{8}{n}}{2+\frac{4}{n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$

Zadanie 1.6
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n = \dfrac{5n^2 + 3n – 1}{n^2} $$

Odpowiedź: \( 5 \)

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez \( n^2 \):
\[
a_n = \frac{5 + \frac{3}{n} – \frac{1}{n^2}}{1}
\]

Gdy \( n \to \infty \), to \(\frac{3}{n} \to 0\) i \(\frac{1}{n^2} \to 0\), więc:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = 5
\]

Zadanie 1.7
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{-2n^2+4}{n^2}$$


Odpowiedź: \(-2\)

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\):
\[
a_n=\frac{-2n^2+4}{n^2}=-2+\frac{4}{n^2}
\]

\[
\lim_{n\to\infty}a_n=-2+0=-2
\]

Zadanie 1.8
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{6n^3-4n^2+n}{2n^3}$$


Odpowiedź: \(3\)

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^3\):
\[
a_n=\frac{6-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{2}
\]

\[
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{6}{2}=3
\]

Zadanie 1.9
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{2n^2-n+1}{5n^2+2n+2}$$


Odpowiedź: $\dfrac{2}{5}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{5+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{5}$$

Zadanie 1.10
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{-8n^2-3n+1}{2n^2-n-3}$$


Odpowiedź: $-4$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{-8-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-8}{2}=-4$$

Zadanie 1.11
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3n^3-n^2+2}{4n^3-3n+3}$$


Odpowiedź: $\dfrac{3}{4}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:
$$a_n=\frac{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3}}{4-\frac{3}{n^2}+\frac{3}{n^3}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{4}$$

Zadanie 1.12
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{1-4n-7n^3}{2n^3+4}$$


Odpowiedź: $-\dfrac{7}{2}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:
$$a_n=\frac{\frac{1}{n^3}-\frac{4}{n^2}-7}{2+\frac{4}{n^3}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-7}{2}=-\dfrac{7}{2}$$

Zadanie 1.13
[latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{3n^2-12}{2n^2+3n}$$


Odpowiedź: $\dfrac{3}{2}$

Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$a_n=\frac{3-\frac{12}{n^2}}{2+\frac{3}{n}}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{2}$$

Zadanie 1.14 [latexpage]

Oblicz granicę ciągu: $$a_n=\dfrac{-6n^2+n-5}{1+n+3n^2}$$

Odpowiedź: $-2$
Rozwiązanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$: $$a_n=\frac{-6+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+3}$$ $$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-6}{3}=-2$$