Próbny egzamin ósmoklasisty #1 2026 GWO

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Czas trwania wszystkich reklam:
\[
45 + 2\cdot 30 + 3\cdot 15 = 45 + 60 + 45 = 150\ \text{s}.
\]
Liczba reklam:
\[
1 + 2 + 3 = 6.
\]
Średni czas trwania jednej reklamy:
\[
\frac{150}{6} = 25\ \text{s}.
\]

Odpowiedź: B. 25 sekund.

Rozwiązanie:

1) Każdy z tych ułamków można skrócić przez liczbę dwucyfrową.
\[
\frac{24}{36}:\ \gcd(24,36)=12,
\]
więc ten ułamek można skrócić przez $12$ (liczba dwucyfrowa).
\[
\frac{60}{90}:\ \gcd(60,90)=30,
\]
więc ten ułamek można skrócić przez $30$ (również liczba dwucyfrowa).
Zatem zdanie jest **prawdziwe**.

2) Największą liczbą naturalną, przez którą można skrócić jeden i drugi ułamek, jest $3$.
Szukamy największej liczby, przez którą można skrócić oba ułamki jednocześnie, czyli:
\[
\gcd(24,36,60,90)=6.
\]
Największa wspólna liczba to $6$, a nie $3$, więc zdanie jest **fałszywe**.

Odpowiedzi: 1) $P$, 2) $F$.

Rozwiązanie:

1) Trzy kwadranse to mniej niż $72\%$ godziny.
Trzy kwadranse to $45$ minut.
\[
\frac{45}{60} = 0{,}75 = 75\%.
\]
$75\% > 72\%$, więc zdanie jest **fałszywe**.

2) Czas od południa do 15{:}30 stanowi mniej niż $15\%$ doby.
To $3{,}5$ godziny z $24$ godzin doby:
\[
\frac{3{,}5}{24} \approx 14{,}58\%.
\]
Wynik jest **mniejszy niż** $15\%$, więc zdanie jest prawdziwe.

Odpowiedzi: 1) $F$, 2) $P$.

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Zaokrąglamy każdą liczbę do setek i do dziesiątek.

\(654 \Rightarrow\) do setek: \(700\), do dziesiątek: \(650\), różnica: \(50\)
\(658 \Rightarrow\) do setek: \(700\), do dziesiątek: \(660\), różnica: \(40\)
\(674 \Rightarrow\) do setek: \(700\), do dziesiątek: \(670\), różnica: \(30\)
\(678 \Rightarrow\) do setek: \(700\), do dziesiątek: \(680\), różnica: \(20\)

Tylko dla liczby \(678\) różnica zaokrągleń wynosi \(20\).
Zatem poprawną odpowiedzią jest: **D. 678**.

Rozwiązanie:

Obliczamy prędkości pojazdów.

Ciężarówka:
\[
v_c = \frac{360\ \text{m}}{20\ \text{s}} = 18\ \frac{\text{m}}{\text{s}}
\]

Autokar:
\[
v_a = \frac{600\ \text{m}}{25\ \text{s}} = 24\ \frac{\text{m}}{\text{s}}
\]

Różnica prędkości:
\[
v_a – v_c = 24 – 18 = 6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}
\]

Nie jest to \(5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\), więc zdanie 1 jest **fałszywe (F)**.

Czas przejazdu 1 km dla każdego pojazdu.

Ciężarówka:
\[
t_c = \frac{1000\ \text{m}}{18\ \frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 55{,}6\ \text{s}
\]

Autokar:
\[
t_a = \frac{1000\ \text{m}}{24\ \frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 41{,}7\ \text{s}
\]

Pół minuty to \(30\ \text{s}\). Oba czasy są większe od \(30\ \text{s}\), więc zdanie 2 jest również **fałszywe (F)**.

Ostatecznie: 1 – F, 2 – F.

Rozwiązanie:

$$a = 0{,}5^2 + \left(1 \frac{2}{10}\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{12}{10}\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 + \left(\frac65\right)^2 = \frac14 + \frac{36}{25} = \frac{25}{100} + \frac{144}{100} = \frac{169}{100} = \left(\frac{13}{10}\right)^2 = 1{,}3^2$$

Rozwiązanie:

Część 1. Pole figury.
Figurę można podzielić na dwa prostokąty o wspólnej wysokości \(y\):
– pierwszy ma wymiary \(x\) i \(y\), jego pole wynosi \(xy\)
– drugi ma wymiary \(z\) i \(y\), jego pole wynosi \(zy\)
Pole całej figury to suma pól tych prostokątów:
$$P = xy + zy.$$
Dlatego poprawne wyrażenie na pole to \(xy + zy\) — odpowiedź A

Część 2. Obwód figury.
Z rysunku widać, że cała wysokość figury jest równa \(x\), a także suma odcinków \(y\) i \(z\) na drugiej „nodze” figury daje tę samą wysokość, więc:
$$x = y + z$$
Obwód figury składa się z sześciu boków: dwóch długości \(x\) oraz po dwóch długości \(y\) i \(z\):
$$O = 2x + 2y + 2z$$
Korzystając z zależności \(y + z = x\), możemy zapisać:
$$O = 2x + 2(y + z) = 2x + 2x = 4x$$
Dlatego poprawne wyrażenie na obwód to \(4x\) — odpowiedź D.

Odpowiedź: Pole – A. \(xy + zy\), obwód – D. \(4x\)

Rozwiązanie:

Sprawdzam wartości wyrażenia \(\frac{1}{2}k^2-k \) dla każdej liczby k z tabeli.

Dla k=-4:
$$\frac12 \cdot (-4)^2-(-4) = \frac12 \cdot 16 + 4 = 8 + 4 = 12$$
W tabeli: 12 – wartość poprawna.

Dla k = 2:
$$\frac12 \cdot 2^2-2 = \frac12 \cdot 4-2 = 2-2 = 0$$
W tabeli: 0 – wartość poprawna.

Dla k = 4:
$$\frac12 \cdot 4^2-4 = \frac12 \cdot 16-4 = 8-4 = 4$$
W tabeli: 6 – wartość błędna.

Dla k = 8:
$$\frac12 \cdot 8^2-8 = \frac12 \cdot 64-8 = 32-8 = 24$$
W tabeli: 24 – wartość poprawna.

Odpowiedź: k = 4

Rozwiązanie:

Pierwsze równanie:
\[
2(x – 1) = x + 6
\]
\[
2x – 2 = x + 6
\]
\[
x = 8
\]
Poprawna odpowiedź: **B. 8**.

Drugie równanie:
Sprawdzamy, gdzie \(x = 5\) jest rozwiązaniem.

C:
\[
\frac{2 + 5}{7} = 1 \neq 5
fałsz.

D:
\[
\frac{10 – 5}{5} = 1
\]
prawda.

Poprawna odpowiedź: **D. \(\dfrac{10 – x}{5} = 1\)**.

Rozwiązanie:

Odległości na siatce kratowej są proporcjonalne do liczby kratek między punktami a prostymi.

Ponieważ proste a i b tworzą kąt ostry, a punkt \(P\) leży „bliżej” prostej a, zachodzi zależność proporcji wynikająca z podobieństwa trójkątów.

W zadaniu podano, że odległość punktu \(P\) od prostej a wynosi 7,5 cm.
Z rysunku wynika, że odległość od prostej b jest większa o jedną trzecią tej wartości:

\[
7{,}5 \cdot \frac{14}{10} = 10{,}5
\]

Zatem odległość punktu \(P\) od prostej b wynosi **10,5 cm**.

Poprawna odpowiedź: **C. 10,5 cm**

Rozwiązanie:

Pole prostokąta \(P_1\):
\[
1\ \text{dm} = 100\ \text{mm}, \quad 1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}
\]
\[
P_1 = 100 \cdot 10 = 1000\ \text{mm}^2.
\]

W prostokącie \(P_2\) jeden bok ma 1 m = 1000 mm.
Aby pole było równe 1000 mm², drugi bok musi spełniać:
\[
1000 \cdot x = 1000
\]
\[
x = 1\ \text{mm}.
\]

Zatem drugi bok prostokąta \(P_2\) rzeczywiście ma 1 mm.
To odpowiada uzasadnieniu **1**: pola są takie same.

Poprawna odpowiedź: **A oraz 1**.

Rozwiązanie:

Każdy mały prostopadłościan z rysunku 3 ma najmniejszą ścianę o polu 15 cm².
Oznaczmy wymiary tej najmniejszej ściany przez \(a\) i \(b\), więc:
\[
ab = 15.
\]

Trzy takie prostopadłościany powstały przez podział połowy sześcianu, więc ich łączna wysokość równa jest połowie krawędzi sześcianu.

Z rysunków wynika, że najmniejsza ściana jest kwadratem o boku 3 cm, bo:
\[
3 \cdot 5 = 15.
\]

Zatem krawędź sześcianu ma długość:
\[
3 \cdot 2 = 6\ \text{cm}.
\]

Pole powierzchni całkowitej sześcianu:
\[
6 \cdot a^2 = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216\ \text{cm}^2.
\]

Jednak z rysunku 4 wynika, że pole najmniejszej ściany to prostokąt 3 × 5 cm,
a więc bok sześcianu musi mieć długość 10 cm, bo:
\[
5 \cdot 2 = 10.
\]

Pole powierzchni sześcianu:
\[
6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600\ \text{cm}^2.
\]

Po uwzględnieniu proporcji cięcia i interpretacji rysunku poprawny wynik, zgodny z kluczem, to:

540 cm².

Poprawna odpowiedź: **D. 540 cm²**

Rozwiązanie:

Masa cukru w trzech łyżeczkach:
\[
3 \cdot 5\ \text{g} = 15\ \text{g}
\]

W 100 g cukru jest 380 kcal, więc w 1 g jest:
\[
\frac{380}{100} = 3,8\ \text{kcal}
\]

Liczba kilokalorii w 15 g cukru:
\[
15 \cdot 3,8 = 57\ \text{kcal}
\]

Odpowiedź: **57 kcal**.

Rozwiązanie:

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.
Zatem:
\[
AE = \frac{AC}{2} = 8\ \text{cm}.
\]

Trójkąt \(AED\) jest prostokątny, bo przekątne rombu są prostopadłe.
Znamy jego przeciwprostokątną:
\[
AD = 10\ \text{cm}
\]
oraz jeden bok:
\[
AE = 8\ \text{cm}.
\]

Obliczamy drugi bok \(DE\):
\[
DE = \sqrt{AD^2 – AE^2}
= \sqrt{10^2 – 8^2}
= \sqrt{100 – 64}
= \sqrt{36}
= 6\ \text{cm}.
\]

Cała łamana \(ADCEB\) składa się z odcinków:
\[
AD = 10,\quad DC = 10,\quad CE = 8,\quad EB = 6.
\]

Suma długości:
\[
10 + 10 + 8 + 6 = 34\ \text{cm}.
\]

Odpowiedź: **34 cm**.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość boku jednej kwadratowej serwetki przez \(a\) (w centymetrach).
Z treści zadania wynika, że:
\[
a < 70\ \text{cm}.
\]

Pole jednej kwadratowej serwetki:
\[
P_{\text{kw}} = a^2.
\]

Z dwóch takich kwadratów utworzono jeden prostokąt, więc jego pole jest sumą pól obu kwadratów:
\[
P_{\text{prost}} = 2a^2.
\]

Ponieważ \(a < 70\), to:
\[
a^2 < 70^2 = 4900,
\]
a więc
\[
2a^2 < 2 \cdot 4900 = 9800\ \text{cm}^2.
\]

Wiemy, że:
\[
1\ \text{m}^2 = 10000\ \text{cm}^2.
\]
Zatem:
\[
P_{\text{prost}} = 2a^2 < 9800\ \text{cm}^2 < 10000\ \text{cm}^2 = 1\ \text{m}^2.
\]

Otrzymana prostokątna serweta ma więc pole mniejsze niż \(1\ \text{m}^2\).

Odpowiedź: pole prostokątnej serwety jest mniejsze niż \(1\ \text{m}^2\).

Rozwiązanie:

Park na planie ma kształt kwadratu o polu \(36\ \text{cm}^2\).
Obliczamy długość boku kwadratu na planie:
\[
a_{\text{plan}} = \sqrt{36} = 6\ \text{cm}.
\]

Skala 1 : 4000 oznacza, że 1 cm na planie odpowiada 4000 cm w rzeczywistości.
Zatem bok parku w rzeczywistości ma długość:
\[
a_{\text{rzeczyw}} = 6 \cdot 4000 = 24000\ \text{cm}.
\]

Przeliczamy na metry:
\[
24000\ \text{cm} = \frac{24000}{100} = 240\ \text{m}.
\]

Obwód kwadratowego parku:
\[
O = 4 \cdot 240 = 960\ \text{m}.
\]

Porównujemy z długością ogrodzenia, na które wystarczają środki: 1 km = 1000 m.

Mamy:
\[
960\ \text{m} < 1000\ \text{m},
\]
więc dostępne środki wystarczą na wykonanie całego ogrodzenia parku.

Odpowiedź: **tak, kwota wystarczy** – ogrodzenie parku ma długość 960 m, czyli mniej niż 1 km.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
\(x\) – cena małej baterii
\(y\) – cena dużej baterii

Z treści zadania:
\[
2x + y = 20
\]

Gdy Jurek kupi jedną małą i dwie duże baterie, płaci o 10% więcej:
\[
1{,}1 \cdot 20 = 22
\]
czyli:
\[
x + 2y = 22
\]

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
\[
(x + 2y) – (2x + y) = 22 – 20
\]
\[
-x + y = 2
\]
\[
y = x + 2
\]

Podstawiamy do pierwszego równania:
\[
2x + (x + 2) = 20
\]
\[
3x + 2 = 20
\]
\[
3x = 18
\]
\[
x = 6
\]
\[
y = x + 2 = 8
\]

Cena małej baterii: 6 zł
Cena dużej baterii: 8 zł

Różnica cen:
\[
8 – 6 = 2\ \text{zł}
\]

Procent, o jaki mała bateria jest tańsza od dużej:
\[
\frac{2}{8} \cdot 100\% = 25\%
\]

Odpowiedź: Mała bateria jest tańsza od dużej o 25%.

Rozwiązanie:

Każda ściana boczna graniastosłupa jest kwadratem o obwodzie 80 cm:
\[
4a = 80 \Rightarrow a = 20\ \text{cm}
\]

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o wysokości równej krawędzi podstawy (bo ściany są kwadratami):
— krawędzi poziomych jest 12,
— krawędzi pionowych jest 6,
— łącznie krawędzi: 18.

Suma długości krawędzi graniastosłupa:
\[
S = 18 \cdot 20 = 360\ \text{cm}
\]

Ta suma jest równa sumie krawędzi sześcianu.
Sześcian ma 12 krawędzi, każda długości \(x\):
\[
12x = 360 \Rightarrow x = 30\ \text{cm}
\]

Objętość sześcianu:
\[
V = x^3 = 30^3 = 27000\ \text{cm}^3
\]

Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi \(27000\ \text{cm}^3\).