1.12-G Uczeń wykonuje działania na potęgach o wykładniku wymiernym (7) – sprowadzanie do tych samych podstaw

Rozwiązanie:
$2^2 \cdot 8^{\tfrac23}
= 2^2 \cdot (2^3)^{\tfrac23}
= 2^2 \cdot 2^{3 \cdot \tfrac23}
= 2^2 \cdot 2^2
= 2^4 = 16$

Rozwiązanie:
\(
2^{\tfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{2}
= 2^{\tfrac{5}{2}} \cdot 2^{\tfrac{1}{2}}
= 2^{\tfrac{5}{2} + \tfrac{1}{2}}
= 2^{\tfrac{6}{2}}
= 2^{3}
= 8
\)

Rozwiązanie:
\(
\sqrt{7^{5}} \cdot 7^{-\tfrac{3}{2}}
= 7^{\tfrac{5}{2}} \cdot 7^{-\tfrac{3}{2}}
= 7^{\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}}
= 7^{\tfrac{2}{2}}
= 7^{1}
= 7
\)

Rozwiązanie:
\(
9^{-\tfrac{3}{4}} : 27^{-\tfrac{3}{2}}
= (3^{2})^{-\tfrac{3}{4}} : (3^{3})^{-\tfrac{3}{2}}
= 3^{2\left(-\tfrac{3}{4} \right)} : 3^{3 \left(-\tfrac{3}{2} \right)}
= 3^{\left( -\tfrac{3}{2} \right)} : 3^{\left( -\tfrac{9}{2} \right)}
= 3^{\left( -\tfrac{3}{2} + \tfrac{9}{2} \right)}
= 3^{\left( \tfrac{6}{2} \right)}
= 3^{3}
= 27
\)

Rozwiązanie:
\(
2^{4} : 32^{\tfrac{1}{5}}
= 2^{4} : (2^{5})^{\tfrac{1}{5}}
= 2^{4} : 2^{1}
= 2^{4-1}
= 2^{3}
= 8
\)

Rozwiązanie:
\(
3^{3} \cdot 27^{-\tfrac{4}{3}}
= 3^{3} \cdot (3^{3})^{-\tfrac{4}{3}}
= 3^{3} \cdot 3^{3 \cdot (-\tfrac{4}{3})}
= 3^{3} \cdot 3^{-4}
= 3^{3 + (-4)}
= 3^{-1}
= \dfrac{1}{3}
\)

Rozwiązanie:
\(
27^{\tfrac{2}{3}} : 9^{-\tfrac{3}{2}}
= (3^{3})^{\tfrac{2}{3}} : (3^{2})^{-\tfrac{3}{2}}
= 3^{3 \cdot \tfrac{2}{3}} : 3^{2 \cdot (-\tfrac{3}{2})}
= 3^{2} : 3^{-3}
= 3^{2-(-3)}
= 3^{5}
= 243
\)