Arkusz maturalny #1R Pazdro 2025

Rozwiązanie:
Cel: Sprawdzić, czy liczba
\[
L=\frac{\log_{2}\sqrt{5}\cdot\log_{5}9}{\log_{16}27}
\]
jest wymierna, czyli czy można ją zapisać w postaci \(\dfrac{a}{b}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{Z},\;b\neq 0\).

Krok 1. Zastosuj wzory na logarytm potęgi i zmianę podstawy:

\[
L
= \frac{\log_{2}\sqrt{5}\cdot\log_{5}9}{\log_{16}27}
= \frac{\log_{2}5^{\frac12}\cdot\frac{\log_{2}9}{\log_{2}5}}{\log_{16}27}
= \frac{\frac12\log_{2}5\cdot\frac{\log_{2}9}{\log_{2}5}}{\log_{16}27}
\]

Krok 2. Skróć \(\log_{2}5\) i uprość \(\log_{2}9\):

\[
L
= \frac{\frac12\cancel{\log_{2}5}\cdot\frac{\log_{2}9}{\cancel{\log_{2}5}}}{\log_{16}27}
= \frac{\frac12\log_{2}9}{\log_{16}27}
= \frac{\frac12\log_{2}3^{2}}{\log_{16}27}
= \frac{\frac12\cdot 2\log_{2}3}{\log_{16}27}
= \frac{\log_{2}3}{\log_{16}27}
\]

Krok 3. Uprość mianownik:

\[
L
= \frac{\log_{2}3}{\log_{16}27}
= \frac{\log_{2}3}{\frac{\log_{2}27}{\log_{2}16}}
= \frac{\log_{2}3}{\frac{\log_{2}3^{3}}{\log_{2}2^{4}}}
= \frac{\log_{2}3}{\frac{3\log_{2}3}{4}}
\]

Krok 4. Zredukuj logarytmy i oblicz wartość:

\[
L
= \log_{2}3 \cdot \frac{4}{3\log_{2}3}
= \frac{\cancel{\log_{2}3}\cdot 4}{3\cancel{\log_{2}3}}
= \frac{4}{3}
\]

Wniosek:
$$L = \frac{4}{3}$$
więc liczba jest wymierna.

Krok 1. Załóżmy, że liczba \(a\) spełnia równanie \(a^{2}=a+1\)

Krok 2. Obliczamy wartość wielomianu w punkcie \(a\):
\[
W(a)=a^{4}-3a-2
\]

Krok 3. Zauważamy, że \(a^{4}=(a^{2})^{2}\):
\[
W(a)=(a^{2})^{2}-3a-2
\]

Krok 4. Podstawiamy \(a^{2}=a+1\):
\[
(a^{2})^{2}-3a-2=(a+1)^{2}-3a-2
\]

Krok 5. Rozwijamy kwadrat sumy:
\[
(a+1)^{2}-3a-2=a^{2}+2a+1-3a-2
\]

Krok 6. Ponownie korzystamy z \(a^{2}=a+1\):
\[
a^{2}+2a+1-3a-2=(a+1)+2a+1-3a-2
\]

Krok 7. Porządkujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\[
(a+1)+2a+1-3a-2=a+1+2a+1-3a-2=0
\]

Wobec tego
\[
W(a)=0
\]

Wniosek:
Każde rozwiązanie równania \(x^{2}=x+1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^{4}-3x-2\).
Co kończy dowód.

Krok 2. Wyznaczamy punkty krytyczne dla wartości bezwzględnych:
\[x=-6,\quad x=2\]
Punkty te dzielą oś liczbową na przedziały:
\[(-\infty,-6),\quad [-6,2),\quad [2,+\infty)\]

Krok 3. Rozpatrujemy każdy przedział osobno.
Przedział I: \(x\in(-\infty,-6)\)
\[|x+6|=-x-6,\quad |x-2|=-x+2\]
\[-x-6 \ge -x+2+3\]
\[-x-6 \ge -x+5\]
\[-6 \ge 5\]

Nierówność sprzeczna ⇒ brak rozwiązań.

Przedział II: \(x\in[-6,2)\)
\[|x+6|=x+6,\quad |x-2|=2-x\]
\[x+6 \ge 2-x+3\]
\[x+6 \ge 5-x\]
\[2x+6 \ge 5\]
\[2x \ge -1\]
\[x \ge -\frac12\]
Układ warunków:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x\in[-6,2)\\[2mm]
x\in\left[-\dfrac12,+\infty\right)
\end{array}
\right.
\]
Część wspólna:
\[x\in\left[-\dfrac12,2\right)\]

Przedział III: \(x\in[2,+\infty)\)
\[|x+6|=x+6,\quad |x-2|=x-2\]
\[x+6 \ge x-2+3\]
\[x+6 \ge x+1\]
\[6 \ge 1\]
Nierówność tożsamościowa ⇒ \(x\in\mathbb{R}\)

Układ warunków:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x\in[2,+\infty)\\[2mm]
x\in\mathbb{R}
\end{array}
\right.
\]
Część wspólna:
\[x\in[2,+\infty)\]

Krok 4. Sumujemy rozwiązania z przedziałów:
\[
\left[-\frac12,2\right)\ \cup\ [2,+\infty)
=
\left[-\frac12,+\infty\right)
\]

Odpowiedź:
\[
x\in\left[-\frac12,+\infty\right)
\]

Krok 1.
Na podstawie twierdzenia o stycznych do okręgu (dwie styczne poprowadzone z jednego punktu do tego samego okręgu mają tę samą długość) wprowadzamy oznaczenia:

• W punkcie A:
Do okręgu \(o_1\): \(|AK| = |AN| = z\)
Do okręgu \(o_2\): \(|AL| = |AQ| = n\)

• W punkcie B:
Do okręgu \(o_1\): \(|BK| = |BM| = y\)
Do okręgu \(o_2\): \(|BP| = |BQ|\)

• W punkcie C:
Do okręgu \(o_1\): \(|CM| = |CN|\)
Do okręgu \(o_2\): \(|CL| = |CP| = x\)

Teza:
Chcemy wykazać, że:
\[
|BK| = |CL| \quad\Longleftrightarrow\quad y = x.
\]

Krok 2.
Dla prawego okręgu, z twierdzenia o stycznych w punkcie B:
\[
|BP| = |BQ|
\]
Z oznaczeń:
\[
|BP| = |BC| + x,\qquad |BQ| = y + z + n
\]
Zatem:
\[
|BC| + x = y + z + n
\]
\[
|BC| = y + z + n-x \tag{1}
\]

Krok 3.
Dla lewego okręgu, z twierdzenia o stycznych w punkcie C:
\[
|CM| = |CN|
\]
Z oznaczeń:
\[
|CM| = |CB| + y,\qquad |CN| = z + n + x
\]
Stąd:
\[
|CB| + y = z + n + x
\]
\[
|CB| = z + n + x-y \tag{2}
\]

Krok 4.
Ponieważ \(|BC| = |CB|\), porównujemy (1) i (2):
\[
y + z + n-x = z + n + x-y
\]
Skracamy \(z+n\):
\[
y-x = x-y
\]
\[
2y = 2x
\]
\[
y = x
\]

Krok 5.
Z oznaczeń:
\[
|BK| = y,\quad |CL| = x
\]
Wynika więc natychmiast:
\[
|BK| = |CL|
\]
Co należało dowieść.

Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisujemy równanie i wyznaczamy dziedzinę:

\[\cos2x-\sin2x=\frac1{\cos2x}\]

Warunek na mianownik:

\[\cos2x\neq0\]

$$2x\neq\frac\pi2+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$x\neq\frac\pi4+k\frac\pi2,\;k\in\mathbb{Z}$$

Dziedzina:
\[
D:x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac\pi4+k\frac\pi2:k\in\mathbb{Z}\right\}
\]

Krok 2. Mnożymy obustronnie przez \(\cos2x\) i przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[(\cos2x-\sin2x)\cos2x=1\]

\[\cos^22x-\cos2x\sin2x=1\]

Mnożymy równanie przez 2:

\[2\cos^22x-2\cos2x\sin2x=2\]

Krok 3. Korzystamy ze wzorów na podwojenie kąta:
Wiemy, że:
1. $\cos 2x = 2\cos^2 x-1$, a dla podwojenia kąta: $\cos 4x = 2\cos^2 2x-1$
2. $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, a dla podwojenia kąta: $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$

Podstawiamy do otrzymanego równania:

\[2\cos^22x-2\cos2x\sin2x=2\]

\[(2\cos^22x-1)-2\cos2x\sin2x=1\]

\[\cos4x-\sin4x=1\]

Krok 4. Sprowadzamy lewą stronę do jednej funkcji cosinus.

\[\cos4x-\sin4x=1\]

\[1\cdot \cos4x-1\cdot \sin4x=1\]

\[\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos4x-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin4x=1\]

\[\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}2\cos4x-\frac{\sqrt2}2\sin4x\right)=1\]

Rozpoznajemy wzór
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\), gdzie \(\alpha=4x\), \(\beta=\dfrac\pi4\):

\[\sqrt2\left(\ \cos\frac\pi4\cos4x-\sin\frac\pi4\sin4x\right)=1\]

\[\cos\frac\pi4\cos4x-\sin\frac\pi4\sin4x=\frac1{\sqrt2}\]

$$\cos\left( 4x+\dfrac\pi4 \right)=\frac{\sqrt2}2$$

Krok 5. Rozwiązujemy równanie trygonometryczne:
$$\cos\left( 4x+\dfrac\pi4 \right)=\frac{\sqrt2}2$$

\[4x+\frac\pi4=\frac\pi4+2k\pi\quad\text{lub}\quad4x+\frac\pi4=-\frac\pi4+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\]

Przypadek 1:

\[4x+\frac\pi4=\frac\pi4+2k\pi\]

\[4x=2k\pi\]

\[x=\frac{k\pi}2,\;k\in\mathbb{Z}\]

Przypadek 2:

\[4x+\frac\pi4=-\frac\pi4+2k\pi\]

\[4x=-\frac\pi2+2k\pi\]

\[x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}2,\;k\in\mathbb{Z}\]

Krok 6. Sprawdzamy zgodność z dziedziną. Wszystkie nasze rozwiązania należą do dziedziny.

Odpowiedź:

\[x=\frac{k\pi}2\quad\text{lub}\quad x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}2,\;k\in\mathbb{Z}\]