15.5. Uczeń oblicza liczbę wariacji bez powtórzeń

Zadanie 15-5.1 NE P1/19

Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów?

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Definicja – Wariacje bez powtórzeń
Definicja – Wariacje bez powtórzeń
Wariacja bez powtórzeń to sposób wybierania kilku elementów z większego zbioru w ustalonej kolejności, przy czym każdy element można wybrać tylko raz.
czyli: wybieramy z n elementów, k elementów, kolejność ma znaczenie, a żaden element się nie powtarza.
Uwaga – wariacje
Jeśli liczbę wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego oznaczymy przez \( V_n^k \), to: \[ V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \quad \text{dla } k \le n \]

Zadanie 15-5.2NE Ć1/19a

Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których mogą wystąpić litery A, B, C, D, E, F i żadna litera się nie powtarza?


Odpowiedź:
6 · 5 · 4 · 3 = 360

Rozwiązanie:

Dostępnych jest 6 liter. Kod czteroliterowy bez powtórzeń:
6 możliwości na pierwszą literę,
5 – na drugą,
4 – na trzecią,
3 – na czwartą.

Łącznie: 6 · 5 · 4 · 3 = 360 kodów.

Zadanie 15-5.3NE P2/19

Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród 26 liter alfabetu, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów?


Odpowiedź:
26 · 25 · 24 = 15 600

Rozwiązanie:

Pierwszą literę można wybrać na 26 sposobów, drugą na 25, trzecią na 24.
Łącznie: 26 · 25 · 24 = 15 600 kodów.

Zadanie 15-5.4 NE Ć1/19b

Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których może wystąpić każda z 26 liter alfabetu i żadna litera się nie powtarza?


Odpowiedź:
26 · 25 · 24 · 23

Rozwiązanie:

Pierwsza litera: 26 możliwości.
Druga litera: 25 możliwości.
Trzecia litera: 24 możliwości.
Czwarta litera: 23 możliwości.

Łącznie: 26 · 25 · 24 · 23

Dalej