15.4. Uczeń wykorzystuje permutacje do rozwiązywania zadań

Zadanie 1.1NE 2/16a
Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra $0$ i żadna cyfra się nie powtarza?

Odpowiedź:
$9! = 362880$

Rozwiązanie:

Zadanie 1.2NE 2/16b
Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, w których zapisie żadna cyfra się nie powtarza?

Odpowiedź:
$10! = 3\,628\,800$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.1NE 3/16a
Ile jest liczb pięciocyfrowych mniejszych od 50 000, w których zapisie każda z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 występuje dokładnie raz?

Odpowiedź:
$3! \cdot 2 = 12$

Rozwiązanie:

Zadanie 2.2NE 3/16b
Ile jest liczb pięciocyfrowych większych od 30 000, w których zapisie każda z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 występuje dokładnie raz?

Odpowiedź:
$4! = 24$

Rozwiązanie:

Zadanie 3.1NE 4/16a
Ile liczb sześciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach z cyfr 4,5,6,7,8,9 jest podzielnych przez 5?

Odpowiedź:
$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$

Rozwiązanie:

Zadanie 3.2NE 4/16b
Ile liczb sześciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach z cyfr 4,5,6,7,8,9 jest parzystych?

Odpowiedź:
$3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 360$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.1NE 7/16a
Na ile sposobów można zakwaterować cztery osoby w czterech jednoosobowych pokojach?

Odpowiedź:
$4! = 24$

Rozwiązanie:

Zadanie 4.2NE 7/16b
Na ile sposobów można zakwaterować cztery osoby w pięciu jednoosobowych pokojach?

Odpowiedź:
$P_5^4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$

Rozwiązanie:

Zadanie 5.1NE 8/16a
Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 7 szufladach (kule i szuflady rozróżniamy) tak, aby każda szuflada była zajęta?

Odpowiedź:
$7! = 5040$

Rozwiązanie:

Zadanie 5.2NE 8/16b
Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 8 szufladach (kule i szuflady rozróżniamy) tak, aby tylko jedna szuflada była pusta?

Odpowiedź:
$8 \cdot 7! = 40320$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.1NE 9/17a
Na ile sposobów można ustawić dziewięć osób w kolejce?

Odpowiedź:
$9! = 362{\,}880$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.2NE 9/17b
Na ile sposobów można ustawić czworo dziewcząt i pięciu chłopców tak, aby dziewczęta stały na początku kolejki?

Odpowiedź:
$4! \cdot 5! = 2880$

Rozwiązanie:

Zadanie 6.3NE 9/17c
Na ile sposobów można ustawić troje dziewcząt i sześciu chłopców tak, aby dziewczęta stały na końcu kolejki?

Odpowiedź:
$6! \cdot 3! = 4320$

Rozwiązanie:

Zadanie 7.1NE 14/17a
Ile można utworzyć kodów złożonych z 2 liter A,B oraz 3 cyfr 2,4,6?

Odpowiedź:
$5! = 120$

Rozwiązanie:

Zadanie 7.2NE 14/17b
Ile można utworzyć kodów złożonych z 3 liter A,B,C oraz 4 cyfr 1,3,5,7?

Odpowiedź:
$7! = 5040$

Rozwiązanie:

Zadanie 7.3NE 14/17c
Ile można utworzyć kodów złożonych z 4 liter A,B,C,D oraz 3 cyfr 3,6,9?

Odpowiedź:
$7! = 5040$

Rozwiązanie:

Zadanie 8.1NE 15/17
Pięciu przyjaciół wybrało się do kina. Na ile sposobów mogą oni usiąść na pięciu miejscach?

Odpowiedź:
$5! = 120$

Rozwiązanie:

Zadanie 9.1NE 16/17a
Tramwajem zatrzymującym się na 8 przystankach jedzie 7 osób. Na ile sposobów mogą one wysiąść z tramwaju, jeśli każda z nich wysiada na innym przystanku?

Odpowiedź:
$P_8^7 = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2 = 40320$

Rozwiązanie:

Zadanie 9.2NE 16/17b
Tramwajem jedzie 7 osób i wysiadają na 7 różnych przystankach, ale nikt nie wysiada na pierwszym przystanku. Na ile sposobów mogą one wysiąść z tramwaju?

Odpowiedź:
$P_7^7 = 7! = 5040$

Rozwiązanie: