Zadanie 1.1
Oblicz $x$, jeśli podane poniżej liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
$$9, x, 37$$
Odpowiedź:
$x = 23$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = 9,\quad a_2 = x,\quad a_3 = 37$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i obliczamy $x$
Podstawiamy dane:
$$x = \frac{9 + 37}{2}$$
Dodajemy liczby w liczniku:
$$x = \frac{46}{2}$$
Dzielimy:
$$x = 23$$
Odpowiedź:
$x = 23$
Zadanie 1.2
Oblicz $x$, jeśli podane poniżej liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
$$4, x, -8$$
Odpowiedź:
$x = -2$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = 4,\quad a_2 = x,\quad a_3 = -8$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i obliczamy $x$
Podstawiamy dane:
$$x = \frac{4 + (-8)}{2}$$
Dodajemy liczby w liczniku:
$$x = \frac{-4}{2}$$
Dzielimy:
$$x = -2$$
Odpowiedź:
$x = -2$
Zadanie 1.3
Oblicz $x$, jeśli podane poniżej liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
$$\frac{1}{2},\; x,\; \frac{1}{3}$$
Odpowiedź:
$x = \dfrac{5}{12}$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = \frac{1}{2},\quad a_2 = x,\quad a_3 = \frac{1}{3}$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i obliczamy $x$
Podstawiamy dane:
$$x = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{2}$$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$x = \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{12}$$
Odpowiedź:
$x = \dfrac{5}{12}$
Zadanie 2.1 5.135V
Liczby: $2x – 1,\; 5,\; x + 11$, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz $x$.
Odpowiedź:
$x = 0$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = 2x – 1,\quad a_2 = 5,\quad a_3 = x + 11$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i obliczamy $x$
Podstawiamy dane:
$$5 = \frac{(2x – 1) + (x + 11)}{2}$$
Sprowadzamy licznik:
$$5 = \frac{3x + 10}{2}$$
Mnożymy obie strony przez 2:
$$10 = 3x + 10$$
Przenosimy 10 na drugą stronę:
$$10 – 10 = 3x$$
$$3x = 0$$
Dzielimy przez 3:
$$x = 0$$
Odpowiedź:
$x = 0$
Zadanie 2.2
Liczby: $x + 1,\; 7,\; x + 9$, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz $x$. Dla wyznaczonej liczby $x$ podaj wyrazy tego ciągu.
Odpowiedź:
Dla $x = 2$ ciąg ma postać $(3,\; 7,\; 11)$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = x + 1,\quad a_2 = 7,\quad a_3 = x + 9$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i obliczamy $x$
Podstawiamy dane:
$$7 = \frac{(x + 1) + (x + 9)}{2}$$
Porządkujemy licznik:
$$7 = \frac{2x + 10}{2} = x + 5$$
Obliczamy $x$:
$$7 = x + 5$$
$$x = 2$$
Krok 3. Dla wyznaczonej liczby $x$ podajemy wyrazy ciągu
Dla $x = 2$:
$a_1 = x + 1 = 2 + 1 = 3$
$a_2 = 7$
$a_3 = x + 9 = 2 + 9 = 11$
Ciąg ma postać:
$$(3,\; 7,\; 11)$$
Odpowiedź:
Dla $x = 2$ ciąg ma postać $(3,\; 7,\; 11)$
Zadanie 2.3
Liczby: $2,\; x-4,\; 3x + 2$, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz $x$.
Odpowiedź:
$x =-12$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = 2,\quad a_2 = x-4,\quad a_3 = 3x + 2$$
Wyraz środkowy jest średnią skrajnych:
$$(x-4) = \frac{2 + (3x + 2)}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie
$$(x-4) = \frac{3x + 4}{2}$$
Mnożymy przez 2:
$$2x-8 = 3x + 4$$
Przenosimy:
$$-8-4 = x$$
$$x=-12$$
Odpowiedź: $x=-12$
Zadanie 3.1
[latexpage]
Ciąg $(k^2, 3, -k)$ jest arytmetyczny. Oblicz $k$.
Odpowiedź:
$k = 3$ lub $k = -2$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = k^2,\quad a_2 = 3,\quad a_3 = -k$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i sprowadzamy je do postaci kwadratowej
Podstawiamy dane:
$$3 = \frac{k^2 + (-k)}{2}$$
Porządkujemy licznik:
$$k^2 + (-k) = k^2 – k$$
więc:
$$3 = \frac{k^2 – k}{2}$$
Mnożymy obie strony przez 2:
$$2 \cdot 3 = k^2 – k$$
$$6 = k^2 – k$$
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$0 = k^2 – k – 6$$
$$k^2 – k – 6 = 0$$
Krok 3. Liczymy deltę i wyznaczamy $k$
$$\Delta = (-1)^2 – 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$$
Wyznaczamy pierwiastki równania:
$$k_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$k_2 = \frac{1 – 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$
Krok 4. Sprawdzamy, czy dla wyznaczonych wartości $k$ ciąg jest arytmetyczny
Dla $k = 3$:
$a_1 = k^2 = 3^2 = 9$
$a_2 = 3$
$a_3 = -k = -3$
Różnice:
$a_2 – a_1 = 3 – 9 = -6$
$a_3 – a_2 = -3 – 3 = -6$
Różnice są równe, więc ciąg jest arytmetyczny.
Dla $k = -2$:
$a_1 = k^2 = (-2)^2 = 4$
$a_2 = 3$
$a_3 = -k = -(-2) = 2$
Różnice:
$a_2 – a_1 = 3 – 4 = -1$
$a_3 – a_2 = 2 – 3 = -1$
Różnice są równe, więc ciąg jest arytmetyczny.
Odpowiedź:
$k = 3$ lub $k = -2$
Zadanie 3.2
[latexpage]
Oblicz liczbę $k$, dla której ciąg $(k^2+k, 2k, k-3)$ jest ciągiem arytmetycznym. Dla wyznaczonej liczby $k$ podaj wyrazy tego ciągu.
Odpowiedź:
Dla $k = 3$: ciąg ma postać $(12, 6, 0)$
Dla $k = -1$: ciąg ma postać $(0, -2, -4)$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = k^2 + k,\quad a_2 = 2k,\quad a_3 = k – 3$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$
Krok 2. Układamy równanie i sprowadzamy je do postaci kwadratowej
Podstawiamy dane:
$$2k = \frac{(k^2 + k) + (k – 3)}{2}$$
Porządkujemy licznik:
$$(k^2 + k) + (k – 3) = k^2 + 2k – 3$$
więc:
$$2k = \frac{k^2 + 2k – 3}{2}$$
Mnożymy obie strony przez 2:
$$2 \cdot 2k = k^2 + 2k – 3$$
$$4k = k^2 + 2k – 3$$
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$0 = k^2 + 2k – 3 – 4k$$
$$k^2 – 2k – 3 = 0$$
Krok 3. Liczymy deltę i wyznaczamy $k$
$$\Delta = (-2)^2 – 4\cdot 1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$$
Wyznaczamy pierwiastki równania:
$$k_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$k_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
Krok 4. Dla wyznaczonych wartości $k$ podajemy wyrazy ciągu
Dla $k = 3$:
$a_1 = k^2 + k = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$
$a_2 = 2k = 2\cdot 3 = 6$
$a_3 = k – 3 = 3 – 3 = 0$
Ciąg ma postać:
$(12, 6, 0)$
Dla $k = -1$:
$a_1 = k^2 + k = (-1)^2 + (-1) = 1 – 1 = 0$
$a_2 = 2k = 2\cdot (-1) = -2$
$a_3 = k – 3 = -1 – 3 = -4$
Ciąg ma postać:
$(0, -2, -4)$
Odpowiedź:
Dla $k = 3$ ciąg ma postać $(12, 6, 0)$
Dla $k = -1$ ciąg ma postać $(0, -2, -4)$
Zadanie 3.3
[latexpage]
Oblicz $x$, jeśli wiadomo, że podane niżej liczby są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego:
$$2x – 3,\quad 3x – 5,\quad x^2$$
Odpowiedź: Brak liczby rzeczywistej $x$.
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalamy dane i warunek
Dane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$$a_1 = 2x – 3,\quad a_2 = 3x – 5,\quad a_3 = x^2.$$
Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}.$$
Krok 2. Układamy równanie i sprowadzamy je do postaci kwadratowej
Podstawiamy dane:
$$3x – 5 = \frac{(2x – 3) + x^2}{2}$$
Mnożymy obie strony przez 2:
$$2(3x – 5) = (2x – 3) + x^2$$
$$6x – 10 = x^2 + 2x – 3$$
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2 – 4x + 7 = 0$$
Krok 3. Liczymy deltę i wyciągamy wniosek
$$\Delta = 16 – 28 = -12 < 0$$
Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Odpowiedź: Nie istnieje taka rzeczywista liczba $x$, aby podane wyrażenia były kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego.