1.5. Uczeń potrafi sprowadzać potęgi do tych samych podstaw

Zadanie 1.5-A1 2.4 (a)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$4^5 \cdot 8^2 : 2^9$$

Odpowiedź: \(2^{7}\)

Rozwiązanie:

\[
4^5 \cdot 8^2 : 2^9
= (2^2)^5 \cdot (2^3)^2 : 2^9
= 2^{10} \cdot 2^6 : 2^9
= 2^{16} : 2^9
= 2^{7}
\]

Zadanie 1.5-A2 2.4 (b)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$(2^{19} \cdot 2^{13})^3 \cdot 128$$

Odpowiedź: \(2^{103}\)

Rozwiązanie:

\[
(2^{19} \cdot 2^{13})^3 \cdot 128
= (2^{19+13})^3 \cdot 2^7
= (2^{32})^3 \cdot 2^7
= 2^{96} \cdot 2^7
= 2^{103}
\]

Zadanie 1.5-A3 2.4 (c)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$(32^3)^5 : 64^4$$

Odpowiedź: \(2^{51}\)

Rozwiązanie:

\[
(32^3)^5 : 64^4
= (2^5)^{3\cdot5} : (2^6)^4
= 2^{75} : 2^{24}
= 2^{75-24}
= 2^{51}
\]

Zadanie 1.5-A4 2.4 (d)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$16^{11} : (4 \cdot 2^4)^3$$

Odpowiedź: \(2^{26}\)

Rozwiązanie:

\[
16^{11} : (4 \cdot 2^4)^3
= (2^4)^{11} : (2^2 \cdot 2^4)^3
= 2^{4 \cdot 11} : (2^{2+4})^3
= 2^{44} : (2^6)^3
= 2^{44} : 2^{6 \cdot 3}
= 2^{44} : 2^{18}
= 2^{44-18}
= 2^{26}
\]

Zadanie 1.5-A5 2.4 (e)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$(14^3 : 7^3)^5 \cdot 4$$

Odpowiedź: \(2^{17}\)

Rozwiązanie:

\[
(14^3 : 7^3)^5 \cdot 4
= ( (14:7)^3 )^5 \cdot 2^2
= (2^3)^5 \cdot 2^2
= 2^{15} \cdot 2^2
= 2^{17}
\]

Zadanie 1.5-A6 2.4 (f)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:
$$[ (0{,}4)^5 : (0{,}8)^5 ]^6 \cdot 16^9$$

Odpowiedź: \(2^{6}\)

Rozwiązanie:

\[
\left[(0,4)^5 : (0,8)^5\right]^6 \cdot 16^9
= \left[\,[(0{,}4):(0{,}8)]^{5}\,\right]^{6} \cdot (2^4)^9
= \left[\,[(0{,}5)^{5}\,\right]^{6} \cdot (2^4)^9
= \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right]^{6} \cdot 2^{36}
= \left(\frac{1}{2}\right)^{30} \cdot 2^{36}
= 2^{-30} \cdot 2^{36}
= 2^{6}
\]

Zadanie 1.5-B1 2.5 (a)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$81 \cdot 27$$

Odpowiedź: \(3^{7}\)

Rozwiązanie:

\[
81 \cdot 27
= 3^{4} \cdot 3^{3}
= 3^{4+3}
= 3^{7}
\]

Zadanie 1.5-B2 2.5 (b)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$243^{2} : 9^{3}$$

Odpowiedź: \(3^{4}\)

Rozwiązanie:

\[
243^2 : 9^3
= (3^5)^2 : (3^2)^3
= 3^{10} : 3^{6}
= 3^{10-6}
= 3^{4}
\]

Zadanie 1.5-B3 2.5 (c)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$(3^{5} \cdot 9)^{2} \cdot 81$$

Odpowiedź: \(3^{18}\)

Rozwiązanie:

\[
(3^{5} \cdot 9)^{2} \cdot 81
= (3^{5} \cdot 3^{2})^{2} \cdot 3^{4}
= (3^{7})^{2} \cdot 3^{4}
= 3^{14} \cdot 3^{4}
= 3^{18}
\]

Zadanie 1.5-B4 2.5 (d)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$\left(\frac{33^{3}}{11^{3}}\right)^{2} : 27^{2}$$

Odpowiedź: \(3^{0}\)

Rozwiązanie:

\[
\left(\frac{33^3}{11^3}\right)^2 : 27^2
= (3^3)^2 : (3^3)^2
= 3^{6} : 3^{6}
= 3^{0}
\]

Zadanie 1.5-B5 2.5 (e)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$(9^{3} \cdot 243)^{5} : 729^{6}$$

Odpowiedź: \(3^{19}\)

Rozwiązanie:

\[
(9^{3} \cdot 243)^{5} : 729^{6}
= (3^{6} \cdot 3^{5})^{5} : (3^{6})^{6}
= (3^{11})^{5} : 3^{36}
= 3^{55} : 3^{36}
= 3^{19}
\]

Zadanie 1.5-B6 2.5 (f)
Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 3:
$$\frac{(18^{2} \cdot 81^{3})^{2}}{(4 \cdot 3^{15})^{2}}$$

Odpowiedź: \(3^{2}\)

Rozwiązanie:

\[
\frac{(18^{2} \cdot 81^{3})^{2}}{(4 \cdot 3^{15})^{2}}
= \frac{18^{4} \cdot 81^{6}}{4^{2} \cdot 3^{30}}
= \frac{(2 \cdot 3^{2})^{4} \cdot (3^{4})^{6}}{2^{4} \cdot 3^{30}}
= \frac{2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 3^{24}}{2^{4} \cdot 3^{30}}
= \frac{2^{4} \cdot 3^{32}}{2^{4} \cdot 3^{30}}
= 3^{2}
\]