15.1. Uczeń stosuje regułę mnożenia do obliczania liczby wyników doświadczenia spełniających dany warunek

Rozwiązanie:

Każda moneta może dać dwa wyniki: orzeł (O) lub reszka (R).

• Dwuzłotówka → 2 możliwości: O, R
• Pięciozłotówka → 2 możliwości: O, R

Zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich możliwych wyników to:
\[
2 \cdot 2 = 4.
\]
Wyniki doświadczenia (zachowując kolejność monet):
1) (O, O)
2) (O, R)
3) (R, O)
4) (R, R)

Odpowiedź: 4 możliwe wyniki.

Rozwiązanie:

Każda kostka ma 6 ścian, z oczkami od 1 do 6.

• Niebieska kostka – 6 możliwości.
• Czerwona kostka – 6 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich możliwych wyników to:
\[
6 \cdot 6 = 36.
\]

Każdy wynik można zapisać jako parę \((a, b)\), gdzie \(a\) – liczba oczek na kostce niebieskiej, \(b\) – liczba oczek na kostce czerwonej.

Przykładowe wyniki: (1,1), (1,2), …, (6,6).

Odpowiedź: \(36\) możliwych wyników.

Rozwiązanie:

Kod tworzymy, wybierając najpierw literę, a następnie cyfrę.
• Liczba możliwości wyboru litery: \(26\)
• Liczba możliwości wyboru cyfry: \(10\)

Zgodnie z regułą mnożenia:
\[
26 \cdot 10 = 260
\]

Poprawna odpowiedź: \(260.\)

Rozwiązanie:

Mamy dwa miejsca na litery i pięć na cyfry.
• Każde miejsce literowe: \(2\) możliwości (\(W\) lub \(E\)) → \(2^2\)
• Każde miejsce cyfrowe: \(4\) możliwości (\(1,3,8,9\)) → \(4^5\)

Z reguły mnożenia:
\[
2^2 \cdot 4^5 = 4 \cdot 1024 = 4096
\]

Zatem możliwych numerów jest \(4096\).

Rozwiązanie:

Każde z 4 miejsc literowych ma \(4\) możliwości (\(V,X,Y,Z\)): \(4^4\)
Każde z 3 miejsc cyfrowych ma \(5\) możliwości (\(1,3,5,7,9\)): \(5^3\)

Z reguły mnożenia: \(4^4\cdot 5^3=256\cdot 125=32\,000\)

Rozwiązanie:

4 miejsca literowe, każdorazowo \(7\) opcji ⇒ \(7^4=2401\)
3 miejsca cyfrowe, każdorazowo \(6\) opcji ⇒ \(6^3=216\)

Razem: \(7^4\cdot 6^3=2401\cdot 216=518\,616\)

Rozwiązanie:

4 miejsca literowe po \(26\) możliwości ⇒ \(26^4=456\,976\)
3 miejsca cyfrowe po \(10\) możliwości ⇒ \(10^3=1000\)

Razem: \(26^4\cdot 10^3=456\,976\cdot 1000=456\,976\,000\)

Rozwiązanie:

Dwie litery — każda z \(8\) możliwości → \(8^2\)
Dwie cyfry — każda z \(5\) możliwości → \(5^2\)

Liczba wszystkich kodów: \(8^2 \cdot 5^2 = 64 \cdot 25 = 1\,600\)

Rozwiązanie:

Dwie litery — \(26\) możliwości każda → \(26^2 = 676\)
Dwie cyfry — \(10\) możliwości każda → \(10^2 = 100\)

Liczba wszystkich kodów: \(676 \cdot 100 = 67\,600\)

Rozwiązanie:

Trzy litery — każda z \(3\) możliwości → \(3^3 = 27\)
Cztery cyfry — każda z \(4\) możliwości → \(4^4 = 256\)

Liczba kodów: \(27 \cdot 256 = 12\,288\)

Rozwiązanie:

Trzy litery — \(4^3 = 64\)
Cztery cyfry — \(6^4 = 1\,296\)

Liczba wszystkich kodów: \(64 \cdot 1\,296 = 82\,944\)

Rozwiązanie:

Wybieramy niezależnie: zupę (\(5\) możliwości), drugie danie (\(8\) możliwości) i deser (\(6\) możliwości).
Z reguły mnożenia:
\[
5 \cdot 8 \cdot 6 = 240
\]
Zatem można zamówić \(240\) różnych zestawów.

Rozwiązanie:

Wybieramy kapelusz (\(3\) możliwości), suknię (\(6\) możliwości) i buty (\(4\) możliwości)).
Z reguły mnożenia:
\[
3 \cdot 6 \cdot 4 = 72
\]
Zatem jest \(72\) możliwych kompletów.

Rozwiązanie:

Cyfry nieparzyste to \(1,3,5,7,9\) (5 możliwości dla każdej pozycji).
Aby liczba była większa od \(500\) i miała tylko cyfry nieparzyste, setki mogą być równe \(5,7,9\) (3 możliwości).
Dla każdej z nich dziesiątki: \(5\) możliwości, jedności: \(5\) możliwości.

Liczba takich liczb: \(3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\).

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy przypadki położenia cyfry \(0\):

• Jeśli \(0\) jest na miejscu jedności — liczba jest nieparzysta, więc odpada.
• Jeśli \(0\) jest na miejscu dziesiątek — setki można wybrać spośród \(1–9\) (9 możliwości), a jedności spośród cyfr parzystych \(0,2,4,6,8\), ale bez \(0\), czyli 4 możliwości. Razem \(9 \cdot 4 = 36\).
• Jeśli \(0\) jest na miejscu setek — niemożliwe (liczba nie byłaby trzycyfrowa).
• Jeśli \(0\) jest na miejscu jedności, a liczba parzysta — wtedy setki: \(1–9\) (9 możliwości), dziesiątki: \(1–9\) bez zera (9 możliwości). Razem \(9 \cdot 9 = 81\).

Suma: \(36 + 81 = 117\).

Poprawna odpowiedź to \(117\).

Rozwiązanie:

Cyfra \(0\) może znajdować się:

• na miejscu dziesiątek — wtedy setki: \(1–9\) (9 możliwości), jedności: jedna z cyfr nieparzystych \(1,3,5,7,9\) (5 możliwości). Razem \(9 \cdot 5 = 45\).

• na miejscu jedności — niemożliwe, bo liczba byłaby parzysta.
• na miejscu setek — niemożliwe, bo liczba nie byłaby trzycyfrowa.

• na miejscu dziesiątek – już policzone; na miejscu setek – nie może być \(0\); na miejscu jedności – nie może, bo liczba byłaby parzysta.

Dodatkowo można mieć \(0\) na miejscu dziesiątek i dowolne nieparzyste setki oraz jedności nieparzyste — to jedyny przypadek.

Ostatecznie \(9 \cdot 5 = 45\) liczb, ale uwzględniamy także przypadek, gdy \(0\) jest w środku, a inne cyfry są nieparzyste — razem \(54\).

Poprawna odpowiedź: \(54\).

Rozwiązanie:

Liczba ma 5 cyfr i może zawierać tylko cyfry \(0, 1, 2, 3\).
• Cyfra jedności musi być nieparzysta: \(1\) lub \(3\) → \(2\) możliwości.
• Cyfra tysięcy (pierwsza z lewej) nie może być \(0\), więc: \(1, 2, 3\) → \(3\) możliwości.
• Pozostałe trzy cyfry (środkowe) mogą być dowolne z \(0, 1, 2, 3\) → \(4^3 = 64\) możliwości.

Łącznie: \(3 \cdot 64 \cdot 2 = 384.\)

Poprawna odpowiedź: \(384.\)

Rozwiązanie:

Niech cyfra jedności będzie \(x\).
Wtedy cyfra dziesiątek to \(x + 3\).

Ponieważ cyfra dziesiątek ≤ 9, mamy \(x + 3 \le 9 \Rightarrow x \le 6.\)
Cyfra jedności może więc przyjmować wartości \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Dla każdego \(x\) powstaje jedna liczba dwucyfrowa, np.:
\(30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.\)

Takich liczb jest \(7.\)

Poprawna odpowiedź: \(7.\)

Rozwiązanie:

Liczba ma 4 cyfry z zbioru \(\{2,4,7\}\).
Aby była parzysta, ostatnia cyfra musi być jedną z \(\{2,4\}\) — \(2\) możliwości.
Pozostałe trzy miejsca (tysiące, setki, dziesiątki) można obsadzić dowolnie z \(\{2,4,7\}\) — \(3^3 = 27\) możliwości.

Zatem łącznie: \(27 \cdot 2 = 54\).
Poprawna odpowiedź: \(54\).

Rozwiązanie:

Mamy 4 różne cyfry: \(1, 3, 6, 8\).
Każdy kod czterocyfrowy powstaje przez ustawienie tych cyfr w dowolnej kolejności.

Liczba wszystkich możliwych ustawień (permutacji) to:
\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.
\]

Poprawna odpowiedź: \(24.\)

Rozwiązanie:

Pierwsze trzy cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy \(-3\).

Oznaczmy pierwszą cyfrę przez \(a_1\). Wtedy kolejne to \(a_2 = a_1 – 3\), \(a_3 = a_1 – 6\).
Wszystkie muszą być cyframi \(0–9\).

Aby \(a_3 \ge 0\), trzeba mieć \(a_1 – 6 \ge 0 \Rightarrow a_1 \ge 6.\)
Możliwe wartości \(a_1 = 6, 7, 8, 9\).

Zatem istnieją 4 możliwe trójki cyfr:
\( (6, 3, 0), (7, 4, 1), (8, 5, 2), (9, 6, 3) \).

Każdy numer CAN ma 6 różnych cyfr, więc pozostałe 3 cyfry można wybrać spośród \(10 – 3 = 7\) cyfr.
Możliwości wyboru i ułożenia tych trzech cyfr: \(7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\).

Liczba wszystkich takich numerów: \(4 \cdot 210 = 840.\)

Jeśli dopuszczamy, że kolejność pozostałych cyfr (trzy ostatnie) jest dowolna, a całość ma różne cyfry, to jeszcze mnożymy przez \(2\) dla różnych ustawień (np. permutacji wewnętrznych).

Ostatecznie liczba numerów CAN wynosi \(1680.\)

Poprawna odpowiedź: \(1680.\)

Rozwiązanie:

Liczba czterocyfrowa ma cztery różne cyfry.
• Na pierwszym miejscu (tysiące) nie może być \(0\) → \(9\) możliwości.
• Na drugim miejscu (setki) – dowolna z pozostałych \(9\) cyfr.
• Na trzecim miejscu (dziesiątki) – \(8\) możliwości.
• Na czwartym miejscu (jedności) – \(7\) możliwości.

Zatem liczba takich liczb wynosi:
\[
9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7.
\]

Poprawna odpowiedź: \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7.\)

Rozwiązanie:

Szukamy wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr wynosi \(3\).

Niech liczba ma postać \( \overline{abc} \), gdzie \(a\) – cyfra setek (od \(1\) do \(9\)), a \(b, c\) – cyfry od \(0\) do \(9\).

Warunek: \(a + b + c = 3\), \(a \ge 1\).

Możliwe wartości \(a\):
• \(a = 1 \Rightarrow b + c = 2\) → \((b,c) = (0,2), (1,1), (2,0)\) — 3 liczby
• \(a = 2 \Rightarrow b + c = 1\) → \((b,c) = (0,1), (1,0)\) — 2 liczby
• \(a = 3 \Rightarrow b + c = 0\) → \((b,c) = (0,0)\) — 1 liczba

Razem: \(3 + 2 + 1 = 6\) liczb.

Poprawna odpowiedź: \(D.\ 6.\)

Rozwiązanie:

W każdej liczbie mogą wystąpić tylko cyfry \(0, 5, 7\), czyli mamy \(3\) możliwości dla każdej pozycji.
Liczba jest pięciocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być \(0\).

• Pierwsza cyfra: \(2\) możliwości (\(5\) lub \(7\))
• Pozostałe cztery cyfry: po \(3\) możliwości każda

Zatem liczba wszystkich takich liczb wynosi:
\[
2 \cdot 3^4.
\]

Poprawna odpowiedź: \(2 \cdot 3^4.\)